カントール 写像

質問

大学一年生です。
学校で、

定理 (カントール？)
f:X→Y g:Y→X
f,g共に単射ならば、XからYへの全単射が存在する。

とならいました。
(証明はよく理解できませんでした…(--;))
そこで例として、下記を挙げられました。

X=N、Y=｛2n｜n∈N｝(=2N)
f:N→2N g:2N→Nと定義する。
f,gはともに全射(全単射ではない)
このf,gから証明で得られる全単射h:X→Yをはっきりさせる。
z=X-g(Y)=N-2N:奇数

ここからhを求めることってできるのでしょうか…？
何をしたらよいのかさっぱりわかりません…(T_T)

回答No.2

kabaokaba

とりあえず，何を言ってるのかさっぱりわからん．
自分で読み返して意味が分かりますか？

で。。。「定理」なんだけど，これって「カントールの定理」じゃなくって
普通「ベルンシュタインの定理」っていわれてませんか．

集合Xの濃度を|X|と書くことにして

集合XとYに対して
|X|<=|Y|かつ|Y|<=|X|であるならば
|X|=|Y|である

と表現される．
|X|=|Y|であることは，X->Yの全単射が存在すること
|X|<=|Y|であることは，X->Yの単射が存在することが定義そのもの．

>X=N、Y=｛2n｜n∈N｝(=2N)
>f:N→2N g:2N→Nと定義する。
>f,gはともに全射(全単射ではない)

そもそもここではfとgは定義されてないし，fとgが全射ってのは
定理の条件とかみ合わないから意味がない．

そんで，ぐぐってみた
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/kasansyugou.html
↑
証明もでてるし，こういうのは自分で手を動かして考えないと理解できない．
人から何を聞いても理解はできないものです．

授業で証明聞いてもわかんないからWebで証明見ても無駄とかは考えない．
この手の議論は人によって切り口や表現，前提条件が違ってて
ひとつのアプローチでわかんなかった違うアプローチを見るのは有用．
で，一度わかってしまうと，ほかのアプローチもすんなりわかったりするものです．

>ここからhを求めることってできるのでしょうか…？
やってみなければわからない．
やってみればもしできなくても
「こう考えたけどわからかった」と堂々と質問できるし，
質問されたほうも答えやすい．
証明方法に従ってやってみればうまくいくかもしれないし
いかないかもしれない．

ベルンシュタインの定理の証明が
「構成的」ならヒントになるだろうし
「超越的」ならヒントにはならない．
「構成的」ってのは，証明そのものが実際に存在するものを例示してくれるタイプ，
「超越的」ってのは，選択公理のようななんかすごい別のものから
いきなり「だから存在するでしょ」と言い切っちゃうタイプ

回答No.1

Tacosan

日本語が意味不明だが h(x) = 2x