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aを実数としたaの3乗根のうち実数であるものはただひとつしか存在しないことをグラフを使わずに示すのはどうやったらいいですか？ よろしくお願いします。

こんにちは。 参考書に合同式3x+5≡7(mod11)の解き方が載ってまして 3x≡2(mod11) 12x≡8(mod11) x≡8(mod11) とすんなり解かれていたのですが 最後の部分は命題 a≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m) (12≡1(mod11),x≡8(mod11)⇒12・x≡1・8(mod11)) の逆を使ったのかと推測しましたが一般に逆は成立つのですか? それとも別の命題を使われてるのでしょうか?

ポンスレーの定理（円の接線に関する定理なのですが）の証明を知っている方がいたら教えてください。

「ありがとうございまし・た」という過去形の言い方は間違いで、常に「ありがとうございます」だと、いつか聞いたような気がします。 本当でしょうか。

こんにちは。 修学旅行で京都に行くことになりました。 ２日目の自主研修のときに、駅ビルでラーメンを食べようということになりました。 京都拉麺小路は全国のラーメン店が集結しているそうですが、どの地方のラーメンがおいしいでしょうか？ せっかく京都に来たのだから京都のラーメンも食べてみたいのですが、京都のラーメン、「宝屋」はどのような味なのか教えてください。 また、みなさんの好きなラーメン店はどこか教えてください。