微分です。アドバイスお願いします。

質問

Log(e^x+√1+e^2x）（注：根号は２ｘまでかかっています。）これを微分せよと問題にあるのですが、僕にはお手上げでした・・・。
答えはLog(e^x/√1+e^2x)です。どなたか、わかりやすく解説して下さい。お願いします。

回答No.4

postro · ベストアンサー

(e^x+√(1+e^2x))の微分について
(e^x+√(1+e^2x))の微分は　(e^x)　の微分と　（√(1+e^2x))　の微分の和ですね
(e^x)'=e^x
（√(1+e^2x))'=（(1+e^2x)^(1/2))'=(1/2)*{(1+e^2x)^(-1/2)}*(1+e^2x)' 　・・・合成関数の微分法
ここで　(1+e^2x)'=(e^2x)'=(e^2x)*(2x)'=2e^2x 　・・・合成関数の微分法
したがって
（√(1+e^2x))'=(1/2)*{(1+e^2x)^(-1/2)}*(1+e^2x)'
＝(1/2)*{(1+e^2x)^(-1/2)}*2e^2x
＝e^2x*{(1+e^2x)^(-1/2)}
＝e^2x/√(1+e^2x)
ゆえに
(e^x+√(1+e^2x))' = e^x + e^2x/√(1+e^2x)

この問題は、微分することよりも微分した後の式の変形の方により頭を使う必要があるという感想を持ちました。
他人の回答に口を挟んで恐縮ですが、＃２さんの
＞（※e^2xを微分すると、（(e^2)'x+e^2x')となります。）
これって、変だと思いますけど。

お礼

本当にすばらしい解説ありがとうございます！！！どうしても、あきらめたくなかったの補足で質問させていただきましたが、僕の為に二度もわざわざきちんといただいて本当に感謝します。
しかも、実は、大学の試験で、去年からとり残している科目なので、どうしても、春までにはパスしなくてはいけなくて・・・これからも、なにとぞ、よろしくおねがいします。大感謝です！！では。

回答No.5

arutema

すみません。根から間違ってました。
とりあえず、今まで私が書いたことは無視してください。
もし、他にもいいやり方を見つけたら、カキコんでみます。

お礼

解決できました、質問に答えていただいて、ありがとうございました。

回答No.3

arutema

をかけると、e^x+1/{2√(1+e^2x)｝　×2e^x　×e^2/{e^x+√(1+e^2x)}となります。 →×

をかけて、{e^x+1/{2√(1+e^2x)｝　×2e^x　×e^2}/{e^x+√(1+e^2x)}となります。 →○

間違いました。ごめんなさい。

補足

(e^x+√(1+e^2x))の微分が複雑でわかりませんでした。是非、この部分の微分をもう一度教えてください。お手数おかけします。
ちなみに
＞（※e^2xを微分すると、（(e^2)'x+e^2x')となります。）の部分はばっちり理解できました。ありがとうございます。
ごめんなさい、正答は　e^x/√1+e^2xの誤りでした。

回答No.2

arutema

{log(e^x+√(1+e^2x)}'は、まず、logの部分を微分して
1/{e^x+√(1+e^2x)}になり、あとはこれにカッコの中を微分したやつ→e^x+1/{2√(1+e^2x)｝　×2e^x　×e^2
（※e^2xを微分すると、（(e^2)'x+e^2x')となります。）
をかけると、e^x+1/{2√(1+e^2x)｝　×2e^x　×e^2/{e^x+√(1+e^2x)}となります。

回答No.1

postro

{Log(e^x+√(1+e^2x)）}'
={1/(e^x+√(1+e^2x)）}*(e^x+√(1+e^2x)）'
={(e^x-√(1+e^2x)）/(e^x+√(1+e^2x)）(e^x-√(1+e^2x)）}*(e^x+e^2x/√(1+e^2x)）
=-e^x(e^x-√(1+e^2x)）(1+e^x/√(1+e^2x)）
=-e^x(-√(1+e^2x)+e^2x/√(1+e^2x)）
=-e^x((-1-e^2x+e^2x)/√(1+e^2x)）
=e^x/√(1+e^2x)

補足

postro様にもおききしますが、(e^x+√(1+e^2x))の微分が複雑でわかりませんでした。是非、この部分の微分をもう一度教えてください。お手数おかけします。
ごめんなさい、正答は　e^x/√1+e^2xの誤りでした。