微分

質問

微分について質問です。
f(x)は
x≠0のときe^(-1/x^2)
x＝0のとき0

[問]f’(0)とf’’(0)を求めよ

という問題がわかりません！どなたか解説お願いします！

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1,#2です。
A#2の補足質問の回答
>t=1/hで変換して、ロピタルを適用した式は
>lim[t→∞]{-2te^(-t^2)}であってますか!?

>>=lim[h→0] e(-1/h^2)/h …(■)
=lim[t→∞] t/e(t^2)
=lim[t→∞] (t)'/{e(t^2)}' ←ロピタルの定理適用
=lim[t→∞] 1/{2te(t^2)}　　← 0/∞型
=0

回答No.3

info22

#1,#2です。
A#2の補足の回答
>「t=1/hの変数変換・・・」までをしたのが↓なのですが
>lim[t→∞]{e^(-1/(x+1/t)^2)-e^(-1/x^2)}/(1/t）
>ここでxで分子分母を微分で良いんですか？

やはり微分の定義が理解できていないですね。

f'(0)の右方微係数f'(+0)の定義なら h>0として
lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/h
=lim[h→0]{e(-1/h^2)-0}/h
=lim[h→0] e(-1/h^2)/h …(■)
この後,t=1/hの変換をし、ロピタルの定理を適用すれば極限値が
出ます。

f'(0)の左方微係数f'(-0)の定義なら h>0として
lim[h→0]{f(0)-f(0-h)}/h
=lim[h→0]{0-e(-1/h^2)}/h
=lim[h→0] e(-1/h^2)/h
ここで(■)と同じ式になりますので以降同様にできますね。

f'(0)が存在する前提条件のf(x)がx=0で連続であることが満たされているので,f'(0)が上記の計算で出てくる収束値0が極限値になります。
つまり、f'(0)=0　と言うことです。

f''(0)についてもx=0におけるf'(x)の連続性を満たしている（f'(0)=0）のでf''(0)の極限値が0になることを微分の定義から示せは良いだけです。

補足

すいません、やはりロピタルの適用の仕方が未だわかってないんですが(T.T)

t=1/hで変換して、ロピタルを適用した式はlim[t→∞]{-2te^(-t^2)}であってますか!?
収束値が0になるのがあまりわからないのですが。

回答No.2

info22

#1です。
A#1の補足質問について

A#1にアドバイスしたことをやった解答を先ず書いて下さい。
微分の定義から、f'(0)が確実に導けるか、理解してみえるかを確認できません。
それが分かってみえないと次のステップの質問されても意味がありません。

>f'(x)ってどうなりますか！？
>なんか計算してもよくわからない値なのですが。。

自分で判断せず、やった解答の計算の詳細をお書き下さい。
f(x)(x>0)を微分すればf'(x)(x>0)が出てきますが、それができないのですか？

A#1にf'(0),f"(0)の定義に基づいた導出の仕方を詳細に書いたつもりですし、その通りやれば解決するはずですが、その通りやってみましたか？それとも、理解できず、何処で行き詰ってみえるなら、やった所まで書いた上で、行き詰っている所を補足にお書き下さい。

補足

すいません、実はあまりロピタルの定理を理解してなくて・・・(＾＾；)

「t=1/hの変数変換・・・」までをしたのが↓なのですが
lim[t→∞]{e^(-1/(x+1/t)^2)-e^(-1/x^2)}/(1/t）
ここでxで分子分母を微分で良いんですか？そうすると分母が0なのでどうすれば良いのかと悩んでいました！

回答No.1

info22

lim[h→0]を使った微分の定義の式を習ったのなら定義の式を書けますね。

定義の式を整理してから、t=1/hの変数変換をして、ロピタルの定理を適用してみてください。
f'(0)=0が導出できますよ。

f'(x)を求めておいて、f''(0)の定義式を書いてみてください。
同様にt=1/hのの変数変換をして、ロピタルの定理を適用してみてください。f''(0)=0が導出できますよ。

行き詰まったら、そこまでの計算過程を補足に書いて、分からない所を補足質問して下さい。

補足

すいません、f'(x)ってどうなりますか！？
なんか計算してもよくわからない値なのですが。。