力学的エネルギー保存について

質問

保存式を使うときですが、重力による位置エネルギーの基準をとるときに先生には基準の高さは一つに決めると教わったんですが、ある問題（滑車に糸をかけて両端に重さの違う物体がついている問題なのですが...）で、２物体のそれぞれの位置を基準の高さとしていました。解答に書いていたのでもちろん間違いではないと思うんですが、どうしてこんな考えが出来るんでしょうか？もし意味が分かりにくければ、問題の全体も書きますので...

回答No.4

Teleskope

◎
　 ││
　 ││
　 ｜｜
　 ● |　質量=A
　 　 │
　 　 │
　　　● 質量=B
　　　↓
─┐　　┌────
　 │　　│

　重力加速度
　　｜　
　　｜　go(r/R)　 go　　　go(R/r)^2
　　｜　　　　　　／ *
　　｜　　　　 ／　　　*
　　｜　　　／　　　　　　 *
　　｜　 ／　　　　　　　　　　 *
　　｜／　　　　　　　　　　　　　　 　*
　　┼───────────── r
　中心　　地下　　R　　　　　中心からの距離
　　　　　　　　　　地面
　　　　　　　　（地球半径R）

　　地球の引力による重力加速度は、地球中心では 0 で、中心からの距離rに比例して増え、地表ではgo（おなじみの9.8m/s）、さらに地面を離れると r^-2 に比例、つまり漸減する。が、どこまで行ってもゼロにはならない。
こういう舞台での A と B の綱引きですね、こう考えてよろしいですか？

　まず静的な釣り合い。
釣り合い位置がこの図でどうなるか分かりますか？地面に潜ってる B の引力 Fb はFb=go(rb/R)、空中(中心から距離ra)の方は Fa=go(R/ra)^2、
釣り合う場所は Fa=Fb ですね。（重いB側の力はゼロになり得る、軽いA側の力はゼロにならないから、B が中心に至る前に必ず釣り合う所があります。）
これを踏まえて、

　AB系は 落下の勢い（位置エネ→運動エネ）で、この釣り合い点を通り過ぎますね、これをエネルギで考えましょう。（ポテンシャルの図をかけますか？）
エネルギは 力×距離 だから上図では面積になって現れます。
「Bが、釣り合い位置までの落下で減少するエネルギ」
「Aを、釣り合い位置まで持ち上げるに要するエネルギ」
この差（余った分）が、釣り合い点を通過するときの速度エネになってるはず、ですよね。で、速度がゼロになるのは それに相当する面積だけ行き過ぎたところ‥‥

　と、ここまでの思考が要求されてるような気がします。 で、気にしてる位置エネの基準は 地球中心統一でやってみたらどうでしょうか。

　気になりますが、A と B の初期の高さが両方とも与えられてますよね？　もしBだけ与えられてるのなら 上空側の重力は 1/R^2 でなくただgo一様、という問題なのかなと思います。（なんだか条件当てクイズのようです。）

補足

すみません。物理(2)の方は詳しくやってないのであまり理解できないのですが、少なくともこの問題が出題された模試は(1)Ｂの範囲からしか出せないようになっているんですよ。ですから説明していただいたほどの考察は必要が無いと思われるんです。中途半端に書いたのがいけないと思うので、しっかり問題書いてみますね。
この補足欄に書くと長くなりそうなの再度スレッドに書き込みたいと思います。お手数ですがそちらのスレッドにもう一度お答えいただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

回答No.3

Teleskope

>>　（もう片方との距離が示されていませんので...）<<

　そいつを仮にＤとでもして、基準一つでやってみましょう。最後にＤが消えてるかもです。

補足

そうするとやはりＤが残ってしまいますね。置き方が悪いのでしょうか？
ちょっと簡単にこの問題を説明してみます。
天井に滑車が吊るされていてその滑車に糸がつながれていて両端には重さの異なる物体がついています。当然重いほうの物体（以下Ａとします）側が下がっていきますが、Ａの下の地面には穴が開いていてＡはどこまでも下にいけます。この時軽いほうの物体（以下Ｂ）も滑車までの距離が十分長いとします。
ここで問いです。
Ａが床面の穴に達した後穴の中をhだけ下降したところで一瞬静止した。この時hが満たす関係式を選べ。
という問題でした。
いかがでしょうか？

回答No.2

ency

もし、その考え方がわからないというのであれば、2物体の場合でも、まずは位置エネルギーの基準線を一つにして解いてみましょう。

もちろん、そのような解答でも間違いではありません。
答えも正解と一致するはずです。
そもそも、位置エネルギーの基準線なんて、どこにとってもいいのですから。
# ただし、問題を解きやすいかどうかは、また別の話。

で、そのときにちょっと考えれば、2物体で別々に基準線を考えることができる、ということの意味がわかるのではないかと思います。

ちょうどそれが No1 nabla さんのおっしゃっている「『基準から見た』相対的な値」というやつです。

補足

一瞬そう考えようと思ったんですが、この問題では基準線を一つにすると片方の位置エネルギーしかわからないような設定になっているのです。（もう片方との距離が示されていませんので...）ですから二つの基準点を絶対に必要としている問題だと思います。実はセンター試験模試の問題ですので答えは４択になっています。ですから仮に一つの基準点で出せたとしても正解にたどり着けないのです。関係式を選ばせる問題になっていますので。

回答No.1

nabla

位置エネルギーというのはあくまで「基準から見た」相対的な値が意味を持つものだということは理解しておられますか？

補足

いいえ。学校で先生が教えてくれたのは「力学的エネルギー保存式を使うときには高さの基準点を一つに決めること」ということだけです。