鉛直運動での、ばねのエネルギーと位置エネルギー

質問

天上にばね（ばね定数ｋ）をつけ、その先に物体A（質量ｍ）をつけ、下から物体Bをぶつけ、鉛直上向きにＡを運動させた。衝突の瞬間のAの速度は上向きにVであり、Aは最大どこまで上るか？という問題で、エネルギー保存を考えたんですが、僕はその時、ｈまで上がると仮定し、
1/2mv2（二分の一　M　Vの二乗）＝mgh+1/2kh2（二分の一　K　ｈの二乗）
としたのですが、解答だと、
1/2mv2=1/2kh2
と、重力の位置エネルギーがごっそりなくなっています。
これは何故でしょうか？
ばねが押し縮められ、さらに重力も鉛直下向きにかかりますよね？
僕は衝突する位置を基準点と考えて、この式をたてましたが、何故位置エネルギーは考えていないのでしょうか？

回答No.2

ht1914 · ベストアンサー

（１／２）ｋｈ２としたときの基準の取り方が問題になっています。
貴方のように正直にやるやり方で正しい結果を出すことも出来ます。あらかじめぶら下げたバネの運動が水平に置いたバネの運動と同じになることを確かめておいてからその結果を使って出すことも出来ます。２つのやり方でバネの長さに対する基準が異なります。

貴方のやり方でやってみます。
運動エネルギー、重力の位置エネルギー、バネの弾性エネルギーです。重力を考えているということは重力がかかっていないときのバネを基準にとって考えていることになります。従ってバネの長さの基準は自然長です。
ぶら下がっているときの伸びをａとします。その状態からｈだけ上に上がることになります。釣り合いの式はｍｇ＝ｋａです。
エネルギー保存の式は
（１／２）ｍｖ２＋（１／２）ｋａ２＝ｍｇｈ＋（１／２）ｋ（ｈ－ａ）２
です。ｍｇ＝ｋａを代入して整理すると
（１／２）ｍｖ２＝（１／２）ｋｈ２
になります。

回答はいきなりこの式を出しているようですね。その場合は伸びている位置を自然長に読みかえています。その場合は重力は現れてきません。それを示してみます。
仮におもりが元の位置のｘだけ下にあるとします。運動方程式は下向きを正にとると　Ｆ＝ｍｇ－ｋｘ　です。これに　ｍｇ＝ｋａ　を代入します。
Ｆ＝ーｋ（ｘ－ａ）　になります。
これは単振動の式です。変位は元の位置からではなくて釣り合いの位置からのものです。重力は消えています。
このバネを水平に置いて振動させるときは自然長からの伸びで考えますがぶら下げたときは釣り合いの位置から伸びを考えればいいということになります。
これを踏まえるとエネルギー保存の式は運動エネルギーと弾性エネルギーだけでいいことになります。重力の位置エネルギーは出てきません。弾性エネルギーの基準は釣り合いの位置です。基準の位置が変わることに注意が必要です。

回答No.1

noname#40706

はじめの段階で、すでにバネにはエネルギーがたまってますよ。ばねにはおもりによる伸びがあります。

ｍｇ＝ｋｘ　のｘ　だけ伸びてます。

衝突する位置を基準点とすると

１／２ｋ（ｍｇ／ｋ）＾２＋１／２ｍｖ＾２

＝１／（ｍｇ／ｋ－ｈ）＾２＋ｍｇｈ

です。

この式に　ｋｘ＝ｍｇ

を考慮して整理すると、いいのではないですか。

計算はおまかせ。

最初からばねは伸びている、がポイントです。