物理エネルギーについて

質問

下の画像の、
問：バネをx伸ばした時の、位置エネルギーの総和を求めよ
という問題で、質問です。こちら答えは1/2kx^2-mgxでした。

しかし、私は重力による位置エネルギーが、+mgxだと考えました。なぜなら、こちらの問題はX軸を下向きに取るということなので、バネが伸びて物体が基準面より下に行ったら、重力による位置エネルギーはプラスになると思ったからです。

私の考えの違うところを教えていただきたいです。加えて、X軸を上向きに取ったら、答えがどう変わるのかも教えていただきたいです。

回答No.2

atm_phantom

補足のリクエストがありましたので追記します。

X軸を上向きにとると、バネを伸ばして下に引き下げられるときは x < 0 です。すると、+mgx < 0 になりますから、重力の位置エネルギーは減る方向ですよね。重力によるにせよ、バネによるにせよ位置エネルギーは外力を加えて移動する方向が、増加方向であることは同じです。
ですから、放置した時に働く力 F は、位置エネルギー U に対して、
F = － dU / dx
( = － grad U = －{ (→i)∂U / ∂x + (→j)∂U / ∂y + (→k)∂U / ∂x }
{ } 内は３次元の場合で、(→i), (→j), (→k) は xyz方向の単位ベクトルとなります。この式が意味するところは、位置エネルギー U が減少する方向に力 F は発生するということです。
従って、今回の問題では重力の位置エネルギーは位置が低いほど減少します。従って力も下向きに発生します。
一方バネによる位置エネルギーは錘で下に伸びているときはフリーの位置に上がるほど減少しますから、従って力も上向きに発生します。
２種類の位置エネルギーで減少する方向が逆になりますから、式の上では片方の符号を変更しなければなりません。
つまり、式の片方は
F = － dU / d( -x ) = dU / dx
となります。
ちょっと理屈っぽくなりましたが、「 位置エネルギーで減少する方向に力が発生し、それに逆らって力を加えて移動させれば、位置エネルギーは増加する。」という所さえ間違わなければ良いのです。

補足

では、結局X軸を上向きに取っても下向きに取っても、問題の答えは(1/2)kx^2-mgxで変わらないということでしょうか？

回答No.1

atm_phantom

重力による位置エネルギーは重力に逆らって移動する方向は位置エネルギーが増える方向と考えます。その質量を重力に逆らってした仕事の分だけ増えるのです。従って、重力の働く方向に従って移動すると減少するのです。従って、x > 0 の時に －mgx < 0 は正しいと考えます。そもそも、普通は X軸を上向きにとって、重力加速度が下向きになり、その時は貴方の言うように +mgx でよいのです。

補足

下向きにX軸を取った時に、-mgxになる理由はなんとなく分かったのですが、X軸を上向きに取った時があまりわからないです、、
X軸を上向きに取ったとしても、重力と同じ向きに仕事をしているので、-mgxになるのではないですか？それとも移動距離が-xになるから、m*(-g)*(-x)＝mgxとなるということでしょうか？