力学的エネルギー保存則の式を立てる

質問

大学の問題です。

水平な床から角度θの斜面があり、質量mの物体を斜面のある高さから自由落下させる。
手を離した位置を原点0とし斜面に沿って下向きにx軸の正をとる。
ただし摩擦、空気抵抗は考慮しない。

(1)座標xの位置まで滑り落ちたときの速度がvであったとして力学的エネルギー保存則の定義をあてはめこの法則をあらわす式を求めよ
(2)運動方程式に仕事の定義をあてはめ、力学的エネルギー保存則をあらわす式を求めよ
(3)運動方程式の解、xとvとで成り立つ関係式を求め力学的エネルギー保存則をあらわす式を求めよ

という問題なのですがこれら３つの答えは一致しますでしょうか？
自分で考えたところ(1)のみ答えが違い、よくわからず困っています。
仮にこれらが一致しないとするとなぜそうなるのか解説お願いいたします。

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

重力による位置エネルギーＵは、
Ｕ＝ｍｇｈ
で与えられますが、ここでいうｈは、基準面からの「高さ」です。今の問題では物体は下方に下がっていくのは明らかです。ｈは基準点からいくら上または下に移ったかを表す値なので、下がったのなら、高さｈは負の数（-x・sinθ）としなければなりません。重力の方向に対して上向きに移動したか下向きに移動したかを考えるのですね。
座標軸の向きをどのように設定しようとも、高さが下がったということは紛れもない事実です。

下向きを正に取ったのだから、L＝xsinθ　増えたはず　とお考えのようですが、座標値の差で与えられるのは「変位」のことで、変位概念は、今問題にしている位置関係でどちらがいくら高い（いくら低い）かという概念とは全く異なるものです。

お礼

詳しくありがとうございます。
おかげで理解できました。

回答No.3

takaya7

回答者に対してのお礼のなかに述べられてる質問に対して
仕事は∫F・drです
さて下向きを正と取るので力の向きは正、移動する方向は正です
よって∫F・dr=mgxsinθです
これを左辺に移動させるので-mgxsinθとなります

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Quarks

問題になっている物体は１つ。その運動も１つ。力学的エネルギーは「運動エネルギー＋重力による位置エネルギー」としか表現できない。重力による位置エネルギーは、基準面の設定如何によって値が異なる（任意性がある）が、それをきちんと統一してあるなら、(1)～(3)は同じ結論にならないとおかしい。

Ｅ＝(1/2)mv^2-mgxsinθ=0

運動方程式
F=ma=mgsinθ
斜面下向きに働く合力Fがした仕事は、運動エネルギーの増加となるので、
(1/2)mv^2-0=mgsinθ・x
整理して
(1/2)mv^2-mgxsinθ=0

m(dv/dt)=mgsinθ
両辺にvを掛けて
v(dv/dt)=v・g'　g'=gsinθとした
左辺は
(1/2)d(v^2)/dt と変形できるので
(1/2)d(v^2)/dt=v・gsinθ
d{(1/2)mv^2}/dt=mg・sinθ・v
dK=mgsinθ・vdt
K=mgsinθ・x＋C　Kは運動エネルギー。Cは積分定数。
x=0でK=0なのでC=0
∴(1/2)mv^2=mgsinθ・x
整理して
(1/2)mv^2-mgxsinθ=0

お礼

早速の回答ありがとうございます。
今回一番悩んだのが(1)なんですがどうして-mgsinθになるのでしょうか？
下向きに正をとっている、つまり初期条件と比べて速度も位置も増加していると考えると0=(1/2)mv^2+mgxsinθにはならないのでしょうか？
よろしくお願いします。