極限の基本問題の質問（高3理系）

質問

基本問題なのですが、お願いします。
グラフを書く時漸近線が必要ですが、x→∞（または-∞）についての計算で、次の問題で、次のように迷いました。
同種の問題でも今まで迷ってきましたので、どこかが躓いていると思います。

・パソコンで式が分かりにくいのですが、｛　｝は極限をとる式本体です。
・通常limの下に書くべきものを（　）で表しました。
・＊は「かける」です。
・ ~2 と ~x は、2乗とｘ乗を表す。

lim(x→-∞) ｛(x~2 - 1) * e~x｝

なのですが、x~2 - 1 の方は＋∞、e~xの方は0になって、＋∞＊０となって、不定形になるのではないでしょうか？
答えは0なのですが。

何故0になるのか、また僕の考えのどこが間違っているのか、よろしくお願いします。

回答No.7

hpsk · ベストアンサー

#4です。

> これと同種のことと理解してもいいでしょうか？
はい、そのへんの話です。
f(x)とg(x)が両方収束する場合、f(x)g(x)はそれぞれの収束値の積に収束し、
両方＋∞に発散する場合、f(x)g(x)も＋∞に発散しますが、
片方が0に収束、片方が無限大に発散となると、その情報だけではf(x)g(x)の収束先はわからないわけです。理由はほかの方も仰っているとおり、収束／発散のスピードが違ったりするからです。

> +∞と-∞とをかける事ができず
この積は-∞になりますよ。
直観的な理解としては（あまり正確な説明ではないかもしれませんが）、例えば1億とマイナス１億をかけると、すごく小さい負の数になりますね、ということでいいんじゃないでしょうか。

お礼

どうもありがとう御座います！！
収束／発散のスピードに関して、まだ僕はもっと勉強しなければならないと思っていますが、今回の問題も、+∞と-∞の積についても同様、勉強になりました。
今後の問題に生かせたらいいと思っています。

回答No.8

nabla

＞不等式を思いつくということ自体、今の僕にはちょっと出来そうに無いのですが

これは別に天才的な発想で思いついたわけではないんです。

この不等式の裏には「テーラー展開」というものがあります。

テーラー展開とは「全ての関数を"y＝a+bx+cx^2+dx^3+…"という形式で表して（近似して）やろう」というものです。

詳しい話は省略しますが、次の３つの関数を展開した形の形は覚えておくと便利です。

exp(x)＝1+(1/1!)x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+(1/4!)x^4+…
sinx＝(1/1!)x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-(1/7)x^7+(1/9!)x^9-…
cosx＝1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-(1/6!)x^6+(1/8!)x^8-…

ここで指数関数のテーラー展開の形を見るとxが十分大きければ３次以上の項が利いて来ることは当たり前ですね。

お礼

どうもありがとう御座います！！
テーラー展開という言葉は、初めて聞きました。
教えてくださいました三つの式について、書き記しておきます。何かに利用できたらいいかと思っています。

回答No.6

physicsache

x=-tとおけば、

(x^2-1)*e^x = (t^2-1)/e^t

lim(t->∞){(t^2-1)/e^t}=lim{t^2/e^t}-lim{1/e^t}

=lim{t^2/e^t} = 0

∵t^2 ＜ e^t

お礼

どうもありがとう御座います！！
分数にして、数式を分解して、極限を取るということについて、シンプルですが、大変勉強になりました。
僕自身、もっと勉強をしなければならないと思います。

回答No.5

nabla

e^xは分かりにくいので
e^xのことをexp(x)と書くことにします。

x>0のとき
exp(x)>1+x+1/2x^2+1/6x^3
という不等式を微分を使って示します。

これが示せたら
t＝－xとして
lim{x→－∞}{(x^2－1)×exp(x)}
＝lim{t→∞}{(t^2－1)/exp(t)}
と変形します。
ここでt>0であることから

exp(t)>1+t+1/2t^2+1/6t^3
となって
(t^2－1)/exp(t)<(t^2-1)/(1+t+1/2t^2+1/6t^3)
＝(6t^2-6)/(6+6t+3t^2+t^3)
と変形できます。

ここまで来ればもう自明ですね？

お礼

どうもありがとう御座います！！
別の紙に書き写して、式の流れを追ってみました。
不等式を思いつくということ自体、今の僕にはちょっと出来そうに無いのですが、t=-xと置くという手法について、勉強したと思います。

数学の才能が無いことを、自分では良く分かっていますので、最低でも合格点だけは取りたいと思っています。

回答No.4

hpsk

極端な場合を考えてみましょう。
lim[x→∞]( x * (1/x) )　において、
x→+∞、(1/x)→0 だから、上の結果は不定、、、なわけないですよね。

> ∞と0へ収束するものの積が不定形
参考書等にそういう説明があったのだと思いますが、これの意味するところは、
lim f(x) = +∞
lim g(x) = 0
という情報だけでは、lim f(x)g(x) がどうなるかは判定できない、ということです。
f(x) = x^2-1、g(x) = e^x
のように関数が具体的にわかっていれば、他の方々が仰っているように収束先を求めることができいます。

# 今の段階でロピタルの定理を使うのは早いんじゃないかなあ？

お礼

どうも有り難う御座います！！

おっしゃることについて、参考書（青チャート愛用です）には lim f(x)g(x) について、f(x)とg(x)が収束する場合、その極限値はその積となる、とあります。ご指摘の点は、これと同種のことと理解してもいいでしょうか？

それで、f(x)とg(x)の両方が発散する場合、または片方が0で片方が発散する場合について、例えばこの問題で僕がつまづいているのですが、

lim(x→+∞) { (log x)(1-log x) } = -∞

となっているのですが、これは、(log x)と(1-log x)がそれぞれ発散するので、+∞と-∞とをかける事ができず、解が出てこないのではないか？という疑問です。

どこか考えの過程に間違いがあるように思っているのですが、今の段階ではそれに気づいておりません。

また、新たな質問項目を作るかもしれませんので、よろしくお願いします！

回答No.3

mirage70

x^2 - 1 の方は＋∞、e^xの方は0になって、＋∞＊０となって、使用出来ないとの指摘ですね。
(x^2 - 1) * e^x=e^x/(1/(x^2 - 1))として、考えてみてください。

お礼

どうもありがとう御座います！！
、、、、すみません、僕の数学の力が無いので、以下のような疑問に陥ってしまいました。

x→-∞という場合、e^xはゼロへ収束し、1/(x^2 - 1)は分母が無限大になるので全体がゼロへ収束する結果、0/0となって、不定形になるのではないか、と考えてしまいました。

何れにしましても、今この種の問題、数問を悩んでいます。極大値や変曲点の数値は解答と合うのですが、どうしても x→+(または-)∞ の点で解答の納得がいっていない状態です。

回答No.2

oog-oog

ロピタルの定理を紹介します。
lim(x→a){f(x)/g(x)}=lim(x→a){f'(x)/g'(x)}
分母と分子を微分しただけ。
これはNo.1で書いてある「強さ」(傾き)を表しています。

だから、y=-xとおいて
(与式)=lim(y→+∞){(y~2-1)/e~y}
=lim(y→+∞){2y/e~y}
=lim(y→+∞){2/e~y}
=0

お礼

どうもありがとう御座います！！
ロピタルの定理をこういうところに応用できるということについて、勉強になりました。
今、同種の他の疑問点についてもこの定理を当てはめて見ようと考えているのですが、上手くいかないところがあるので、まだ適用の方法を会得していないのかも知れません。

回答No.1

kmb01

あまり自信ないですが、
べき乗と指数関数では収束、発散の強さが違うからです。

今回は乗算なのでxの減少に伴いそれぞれが何倍になるかを考えると
たとえばxが-100から-101になるとき、
x^2は10000から10201で201しか増え、1.0201倍になりますが
2^xは2^-100から2^-101へ1/2倍になり、両者をかけたものは1.0201/2倍で小さくなります。

上式は計算しなくてもe^xの収束のほうが強いので0になると分かりますが
収束の強さが同程度のものの積は実際に計算してみないと分かりません。

お礼

どうもありがとう御座います！！
実際の数値を示してくださり、具体的に分かるように思います。
僕自身、数式の意味を最初から考える必要もあると思いました。