右側、左側からの極限

質問

初歩的な質問で、すみません。
問題集を何度も読んだのですが、全く理解できなかったので質問させていただきます。

lim(x→1+0) x/(x-1)…(1)
lim(x→1-0) x/(x-1)…(2)
lim(x→0) e^(1/x)…(3)
lim(x→-∞) e^(1/x)…(4)

(1)～(4)の極限を求める問題があったのですが、(1)はlim(x→1+0)1/(x-1) = ∞，(2)はlim(x→1-0)1/(x-1) = -∞，(3)右極限：x→+0のとき，1/x→∞，∴e^(1/x)→∞．左極限：x→-0のとき，1/x→-∞，∴e^(1/x)→0．よって(３)の式は存在しない．
(4)はx→-∞のとき，1/x→0.　∴e^(1/x)→e^0=1.
という答えが書いてありました。
ですが、何故∞が出てくるのかが分からず(全てにおいてです)、(４)では-∞を代入して求めていいのかも分かりません。∞/∞の形がよく解っていないので、教えていただけると有難いです。

回答No.2

hermite · ベストアンサー

まず、(1)ですが、x→1+0とは、xを…→10→9→…→2→1のように、1より大きい側から1に近づけていく場合の極限を表します。ですので、たとえば、x=2⇒(1)=2/1、x=1.5⇒(1)=1.5/0.5=3、x=1.1⇒1.1/0.1=11、以下、xが1に近づくと、極限値がどんどん大きくなることがわかります。極端な話、x=1.000001などとすると非常に大きな値になります。よって、(1)の極限は＋の無限大に発散する、となります。
(2)も同様に考えます。今度は、xをマイナス側から1に近づけるので、分母が常に負になることに注意してください。したがって、(1)とは逆に、－の無限大に発散します。
(3)では、まず、x→+0（プラス側から0に近づける）ときには、eの指数部分が＋の無限大に発散しますので、e^(1/x)もやはり＋の無限大に発散します。x→-0のときには、eの指数部分が－の無限大に発散しますので、e^(1/x)は0に収束します。右極限と左極限が一致しないため、極限値はなしとなります。
(4)は、回答のとおりです。

補足
この問題には∞/∞はでてきていないのですが、この形と0/0になる形は不定形と呼ばれていて、収束、発散が明らかでないものになります。このときは、多くの場合、分子分母の約分またはロピタルの定理の適用により極限値を求めることができます。

お礼

わかりやすい説明、ありがとうございます。
理解力のない私ですが極限について朧気ながら納得できました。
ご回答、ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

(1),(2)はグラフが描ければわかりやすいのですが、
x→1±0の極限がわかりにくければ、x-1 =aすなわち x=a+1とおきます。
すると、x/(x-1) =(a+1)/a =1+1/aと変形できます。
y=1/aのグラフを考えると、x→0の左極限は-∞、右極限は+∞となります。

(3),(4)は、まず 1/xの極限値を考えるところからスタートしているのはわかると思います。
(3)は「x→0」と左極限・右極限の指定がないので、それぞれでの値が同じになるかを検証しています。
(4)は、回答のとおり 1/x→0となるので、e^(1/x)→1となります。

x→∞や x→-∞の極限を扱う場合には、
左極限か右極限「しか」ないので左右での値が同じといった検証は不要になります。