三角形の内接円が必ず存在する証明

質問

任意の三角形の内接円は必ず存在するのでしょうか。また、そうだとすると、それはどうやって証明できるでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.3

BLUEPIXY · ベストアンサー

＃１の方と同じ
∠Aを２等分する線上の点は∠Aを挟む辺からの距離が等しい
同じく
∠Bを２等分する線上の点は∠Bを挟む辺からの距離が等しい
∠Aと∠Bのそれぞれの２等分線は、必ず交わる点があり、この点は、３辺からの距離が等しいから内接円が存在する。

直感的な説明
三角形の中に任意の場所で１つの点を取る。
どの辺にも届かないような円を考える。
円の半径をだんだん大きくする（膨らましていく）と考えると（円の中心はずれて）やがて
３つの辺に接する円ができる。
（この考えの要点は、３点を通る円がかならず描けるということに等しい）

お礼

ありがとうございました。

回答No.6

KRASU

NO.1です。NO.2の方のいうとおり、間違いだらけでした。すいません。二等分線AOは、∠Aの二等分線上に点Oを取るってことで

回答No.5

BLUEPIXY

#4>∠Aの２等分線と∠Bの２等分線は、必ず、３角形の中で交わる

∠Aの２等分線と交わる直線の交点が３角形の外にになるのは、∠Aの対辺を超えてからである。
ところが
∠Bの２等分線は、その∠Aの対辺より内側（A側）にあるので、対辺に達するより前に（つまり三角形の内側で）交わる

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

springside

∠Aの２等分線と∠Bの２等分線が、必ずその三角形の中で交わる（交点がその三角形の外に出ない）ことの証明は必要ないですか？

考えれば自明かも知れませんが．．．。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

gamasan

細かい突っ込みですが　1番さんの
「∠ABCの二等分線AOを引いて」
角を表す場合　∠Ａを表すなら　∠BACですね
それから　Ｏをどこに取るのかが書かれていませんので
作図が不能です

ですが　まぁ考え方はいいですね
それぞれの角を二等分する線の任意の点から　垂線を引いて
それを半径にすれば　その２辺に接するでしょ
じゃ　Ａからの線とＢからの線が交わるところは
３辺に同じ距離だと言えるから
内接する円は存在するのです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

KRASU

所詮中学生考えなので間違ってるかもしれませんが。∠ABCの二等分線AOを引いて、AOからAB,ACそれぞれへの垂線を引き交点をP,Qとする。ここで、△APOと△AQOが合同ってのはわかりますよね？ここで、三角形の角のうち2つの角二等分線を引き、最初と同じようにして三角形を作ります。そのそれぞれ三角形は合同で、対応する線分の長さは等しいので、それぞれの三角形から等しい距離にある点が出来たと思います。ココを中心として、内接円を描けばどんな三角形でも内接円をかけます。

お礼

ありがとうございました。