内接円と外接円の一致の証明

質問

お世話になります。
平面幾何に関する証明問題でどうしてもわからない問題があります。

添付画像にあるように、AE=AF,BF=BD,CD=CEのとき、△ABCの内接円と△DEFの外接円が一致し、しかも３点D,E,Fは接点になっていることを証明したいのですが、よくわかりません。

宜しくお願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

#1です。
> 内心と外心が一致することは理解できる
それならその点をOとすると，三角形DEFの外接円の半径はOD=OE=OFに等しくなります。
三角形ABCの内接円を描いたときに，例えばABと接する(内接円だから当然に接する)のが線分BF上の点だとします。そうすると，当然にBCに接するのは線分BD上の点になって，そこからACと接するのは線分AE上の点になります。結局，最後にはACと接するのは線分AF上の点と言うことになって，これは三角形ABCの内接円がABと接するのは点Fであることを意味しますよね。
これで内接円と外接円が一致しました。

お礼

f272さん

ご回答頂きありがとうございました。
やっと、理解できました。

回答No.1

f272

三角形AFEはAを頂点とする2等辺三角形だから，角Aの2等分線はEFの垂直2等分線と一致する。
同様のことが角Bの2等分線，角Cの2等分線についても成り立つので，
角A，角B，角Cの2等分線の交点は，EF，FD，DEの垂直2等分線の交点と一致するので，三角形ABCの内接円と三角形DEFの外接円は一致し，３点D，E，Fは接点になっている。

お礼

f272さん

ご回答頂きありがとうございました。
やっと、理解できました。

補足

f272さん

ご回答頂きありがとうございます。
不明な点がありますので、よろしければご回答頂けると助かります。

「三角形ABCの内接円と三角形DEFの外接円は一致」のところで、内心と外心が一致することは理解できるのですが、内接円と外接円が一致することがまだよく分かっておりません。

宜しくお願い致します。