三角形の内接円の作図法と証明について

質問

三角形の内接円の作図法と証明について添削おねがいします

問 三角形の内接円を描くこと

【作図法】
三角形の内接円を描く。
三角形を△ABCとする。
∠Bと∠Cの二等分線の交点を点Iとする。
点Iから辺BCに垂線を下ろし、辺BCとの交点を点Dとする。
辺IDを半径とし、点Iを中心点とした円Iは△ABCに内接する。

【命題】円Iは△ABCに内接する。
【証明】
(1) 点Iから三辺AB,BC,CAに垂線を下ろしたとき、交点をそれぞれ点E,D,Fとする。
(2) 角の二等分線上の点は、角の二辺から等距離にあるので、
IE=ID,ID=IF
よって、IE=ID=IFとなる。
以上より点Iは3点D,E,Fから等距離にある。
よって、円Iは△ABCのの三辺に接しているので内接円となる。
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先生から
・【証明】の(2)では簡単すぎる。三角形の合同を使うこと
・【証明】の「点Iは3点D,E,Fから等距離」という文章で、等距離ならば内接円と言えるのか

という指摘を受けました。
誰か訂正等お願いします。指摘箇所以外にもおかしいところがあれば、教えていただけると助かります。

回答No.2

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　　重要なのは、先生が指摘されたように、

　　【証明】の「点Iは3点D,E,Fから等距離」という文章で、等距離ならば内接円と言えるのか

　　　ということで、IE=ID=IF　だけではなく

　　　IE、ID、IFがそれぞれ三角形の辺に、「垂直である」ことに言及しなければなりません。

　　　つまり円は、E、　D、　F、で辺に接していることを示さねばならない

　　ということです。

　　IE、ID、IFがそれぞれ三角形の辺に垂直であることを述べるために、合同であることをしめすことが必要になります。

お礼

なるほど!!
正直先生の言っている意味がさっぱりだったのですがmnakauyeさんの回答をみて納得しました
ありがとうございました！

回答No.1

spring135

(2) 角の二等分線上の点は、角の二辺から等距離にある

EとFのつけ方が逆です。A→D、B→E、C→F、証明するとき、対称性は大切ですので必ず守ってください。

直角三角形IBFとIBDにおいて

∠IBF=∠IBD＝∠ABC/2、∠IFB=∠IDB＝直角、三角形の内角の和は180°、よって、

∠FIB=∠DIB=90°-∠ABC/2

辺BIは共通、従って2角挟辺の一致により⊿IBFと⊿IBDは合同、従ってID=IE

お礼

うわわっありがとうございます
かなり基本的なことを間違えていましたね恥ずかしいです
ご指摘いただくまで気づかなかったです
助かりました!!