四角形に内接円が存在する必要十分条件の証明を教えてください

質問

wikipediaによると、四角形に内接円が存在する必要十分条件は、
・全ての内角が180度以下
・AB+CD=BC+DA
ということですが、残念ながらこれについての証明がありませんでした。
しばらく考えましたが、やはり証明できませんでした。
どなたか教えていただけませんでしょうか？

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回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ちゃんと証明できていないのですが気づいたことだけ。
Ｍから四角形の各辺に垂線を下ろし、ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡとの交点をそれぞれＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈとすると三角形の合同からＥＢ＝ＢＦ、ＦＣ＝ＣＧ、ＧＤ＝ＤＨ、ＨＡ＝ＡＥです。
　三角形ＡＢＣＤにおいて角Ｂ＞πとすると、辺ＢＣとＣＤに接する円はＢＣのＤ側にあることになり、ＡＢに接することはありません。

お礼

回答ありがとうございます。
・全ての内角が180度以下
については、自明な事実であって、ちゃんと証明するのは1+1=2を証明すること並に難しいので今回はgohtrawさんのご回答で十分満足です＞＜

・AB+CD=BC+DA
がどうしても分かりません。

回答No.2

nag0720

＞・AB+CD=BC+DA
＞がどうしても分かりません。

＃１さんは、それも証明していますよ。
EB=BF、FC=CG、GD=DH、HA=AE
なので、
AB+CD=(AE+EB)+(CG+GD)=AH+BF+FC+DH=(BF+FC)+(DH+HA)=BC+DA

お礼

なるほど！ありがとうございます！
小学生でも解ける問題に悩んでいた自分が恥ずかしいです！