微分方程式

質問

次の問題なのですが・・・

(1)y''+y'-2y=e^x
(2)y'''-y=0
(3)y'''-y=e^(2x)
(4)xy'+y=x(1-x^2)
(5)y'''-2y''-y'+2=0の一般解
(6)y'''-2y''-y'+2=3e~(2x)の特殊解
(7)y''''+y''=0の一般解
(8)y''''+y''=6xの特殊解

本当に困ってます。基本だけでもいいのでお願いします。

回答No.1

ku_by_wada · ベストアンサー

線形同次微分方程式とは
y^(n)+a_n y^(n-1)+...a_1=0（ｋ）
左辺がn階までの導関数の一次結合でかけていて、右辺が０、
非同次は右辺がｘの関数になっているやつです
同次のほうは、y=e^λxとおけば、
（λ＾ｎ＋a_n λ^(n-1)+...+a_1)*e^λx=0
e^λx=/=0より、
λ＾ｎ＋a_n λ^(n-1)+...+a_1=0
を解けば良い(この左辺をｋの特性多項式といいます）
この解をλ＿ｎ,λ＿ｎ－１、...λ＿０とします（この解は、複素数も含みます）
もし、解に重複が無ければ、（ｋ）の一般解はe^λ_ｎｘ、e^λ_ｎ－１ｘ...e^λ_0ｘ
の一次結合で表せます
重複が有る場合、仮に,λ_iがｍ個の重複解を持つ場合、
y=u(x)*e^λ_i
とおいて（ｋ）に代入すれば、u(x)^(ｍ)=0
となり、u(x)はｍ個の一次独立な解１、ｘ、ｘ＾２...x^m-1
を持ちます

非同次の場合、右辺の関数をp(x)とします
y^(n)+a_n y^(n-1)+...a_1=p(x) (k')
まず、特性方程式の解を求めます（左辺を写像と考え、Ｌとおくと、Ｌのカーネルをもとめたことになります）
上と同じ記号を使います。ｙ＝u_1e^λ_1x＋　u_2 e^λ＿２ｘ＋...+u_ne^λ_nx

u1,u2..u_ｎ　　はｘの関数とします
ｙ’、ｙ”...y^(n-1)を求めます
その時u1'u2'...の一次結合で書けているところは０とします
y'=（ u1’e^λ＿１ｘ＋u2'e^λ＿２ｘ+....)+u1λ＿1e^λ_1x+u2λ_2e^λ_2x+...
()でくくったところを０にする
これからｙ”をもとめ、以下同様の操作を行う
次にｙ＾ｎを求めます。このときはu1'u2'...はそのままです
これらを（ｋ）に代入すると、
u1'（λ＿１）^n-1e^λ_1+u2'(λ_2)^n-1e^λ_2+...=p(x)
よって、u_１',u2'...u_n'に関するｎ個の一次方程式が導け、u_1',u_2'
を求め、積分してu_1,u_2..u_nを得ます
これにより(k')の特殊解y=u_1e^λ_1x+u_2e^λ_2ｘ...+u_ne^λ_nｘ
を得、一般解は（ｋ）の解との線形結合となります
パソコンだと記号とか分かりづらいと思うので「常微分方程式の解法」（作者は忘れました）出版元は常華房(これも怪しい)に詳しくのってるのでご参考までに

お礼

回答ありがとうございます。

ですが・・・・・
言葉が少しわかりません。
すみません。私の頭はロースペックですので。m(_ _)m

回答No.3

i536

自力で解けてよかったですね。

補足説明します（厳密ではありません）。

(2)
>Ae^x+Be^(-(-1+i*√3)/2)+Ce^(-(-1-i*√3)/2)
>ではだめなのですか？
わるくはないようなきがしますが・・・。
実数の範囲で答えるとなると、
あとは、オイラーの公式e^(iz)=cos(z)+i*sin(z)を使って、
i*√3/2　の部分をsin と cos に分解するだけです。
ただし定数部分に複素数がでてきてもそれを実数の定数に置き換えます。
(7)も同様です。

(4)
>これはなぜ　xy'→(xy)'　となったのですか？
これは左辺すべてが含まれます、xy'+ y ⇔(xy)' です、xとyとの積の微分です。
(xy)'=x'*y + x*y' = y +x*y' = y + xy'= xy' + y

(8)
(D^4 + D^2)y=6x
したがって、二重積分(1/D^2)を出してから、1/(1+D^2)を分子に級数展開すると、
y=(1/((D^4 + D^2))6x=(1/D^2)(1-D^2 + D^4 -D^6・・・)6x
=(1/D^2)(6x -　0 +　0 -　0　+・・・)
=x^3

回答No.2

i536

以下、Dを微分演算子d/dxとします。
また下記式中のA,B,C,Dは定数とします。
問題が多いので回答のみで説明はしません。
念のため元の微分方程式に代入してご自身で確認願います。

(1)y''+y'-2y=e^x
(D+2)(D-1)y=e^x
y=A*e^-2x + B*e^x + (x*e^x)/3

(2)y'''-y=0
(D^3-1)Y=(D-1)(D^2+D+1)y=(D-1)(D-(-1-√3*i)/2)(D-(-1+√3*i)/2)y=0
y=A*e^x + B*e^(-x/2)*cos(√3x/2) + C*e^(-x/2)*sin(√3x/2)

(3)y'''-y=e^(2x)
y=A*e^x + B*e^(-x/2)*cos(√3x/2) + C*e^(-x/2)*sin(√3x/2) + e^(2x)/7

(4)xy'+y=x(1-x^2)
(xy)'=x(1-x^2)
両辺を積分すると、xy=x^2/2 -x^4/4 +C
よって、y=x/2 -x^3/4 + C/x

(5)y'''-2y''-y'+2=0の一般解
問題は、y'''-2y''-y'+2y=0　と思われるのでこれを解きます。
(D-1)(D-2)(D+1)y=0
よって、y=A*e^x + B*e^2x + C*e^-x

(6)y'''-2y''-y'+2=3e~(2x)の特殊解
問題は、y'''-2y''-y'+2y=3e^(2x)　の特殊解と思われるのでこれを解きます。
y=x*e^2x

(7)y''''+y''=0の一般解
y=A*x + B + C*sin(x) + D*cos(x)

(8)y''''+y''=6xの特殊解
y=x^3

補足

回答ありがとうございます。
(5)と(6)は私が載せた問題が間違ってました。

自分なりに解いてみました。
(1)y=Ae^x+Be^(-2x)+(xe^x)/3
となりました。
(5)(6)もできました。

(4)xy'+y=x(1-x^2)
(xy)'=x(1-x^2)
これはなぜ　xy'→(xy)'　となったのですか？

(2)は、
f(D)=(D-1)(D^2+D+1)=(D-1)(D-(-1+i*√3)/2)(D-(-1-i*√3)/2)
までは出ましたが、それ以降が不明です。
y=Ae^x+Be^(-(-1+i*√3)/2)+Ce^(-(-1-i*√3)/2)
ではだめなのですか？
ここからどうやって展開したのでしょうか？

(3)も同様です。

(7)(8)もちょっとわかりません。これらを(5)(6)みたいに
といてみたのですが・・・・・違うようですね。

(7)は
D(D^2+1)=D(D+i)(D-i)
ここまでは出ましたが、先ほどと同じように三角関数へどうやって
変形したのかがわかりません。

(8)はやり方がさっぱりです。
(7)と同じなのに・・・・6xをどうすればいいのかわかりません。(>_<)