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質問

下のマーカー引いたところは必ずそうしなければ解けませんか？cosx-√3sinx<0としてはいけませんか？

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

√3sinx−cosx>0と
cosx-√3sinx<0は
同値だから、後者でも解けます
(ただし、cosが先頭に来ているので、
いつもはsinが先頭に来ている式を合成する事に慣れている人にとっては、少し混乱があるかもしれません)

以下
cosx-√3sinx<0について
サインとコサインの係数を直角三角形の高さと底辺に見立てて、三平方の定理に放り込む
1²+√3²＝4より斜辺は2
と言う事で不等式左辺を斜辺＝2でくくりだす

↔2｛(1/2)cosx−(√3/2)sinx｝＜0
↔｛(1/2)cosx−(√3/2)sinx｝＜0…①
加法定理より
sin(α+x)＝sinαcosx+cosαsinx…②

①左辺と②右辺を見比べてcosxとsinxの係数を
そろえてあげると
sinα＝1/2、cosα＝−√3/2
これらを同時に満たすαは150°であり
α＝150°としてやると
①左辺は
｛(1/2)cosx−(√3/2)sinx｝
＝sinαcosx+cosαsinx
＝sin(x+α)
＝sin(x+150)＜0…③
と変形できる
xの定義域が0≦x＜360なら
150≦x+150＜360+150
この範囲で③を満たすx+150の範囲を探ると
180＜x+150＜360
↔30＜x＜210
となり、模範解答と同じ答えを得ます