積分を使った面積

質問

問150です。解答がなくてわかりません。計算の過程などを細かく教えてくださると助かります。よろしくお願いします。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

はじめに、y＝logxのグラフをテキストないしネットなどで確認しておいて下さい

二点を通る直線の公式　等利用で
Lの式は
y＝｛loga/(a−1)｝(x−1)
これと曲線の式を連立方程式にすれば
おそらく、Lと曲線の交点の座標が求まりますが…
この問題では値が親切で
直線上の二点(1、0)と(a、loga)は曲線上の二点でもある事がすぐに分かるので
交点はこれら二点です

ゆえに、Lと曲線に囲まれる図形の面積を
S(a)とおけば
1＜x＜aの範囲では直線の方が曲線より下に位置しているので

S(a)
＝∫[logx−｛loga/(a−1)｝(x−1)]dx…区間は1〜a
＝∫logxdx−∫｛loga/(a−1)｝(x−1)dx…(A)

部分積分にて
∫logxdx
＝∫(x)′logxdx
＝[xlogx]−∫x(logx)′dx…積分区間:1〜a
＝aloga−a+1

残りは、普通に積分して
∫｛loga/(a−1)｝(x−1)dx
＝｛loga/(a−1)｝∫(x−1)dx…区間1〜a
＝｛loga/(a−1)｝｛(a−1)²｝/2

だから(A)の続きは、整理すると
(A)＝(1/2)(a+1)loga−a+1

穴埋めでなければ、S′(a)を計算して
増減表を書いて、S′(a)の変化の様子を調べる必要がありそうですが
穴埋めなので面倒臭いことは省略

S(a)＝面積2となるときを計算すると
(1/2)(a+1)loga−a+1＝2
整理すると
(a+1)(loga−2)＝0
a＞0より
この解は(loga−2)＝0を満たすaとなり
a＝e²
aがこの値より少しでも大きくなれば、S(a)も2より大きくなるのは問題文の穴埋め部分から
分かるから　
□に当てはまるのはe²となる

このようになりそうです
(計算ミス等あるかもしれないのでご自分で注意深く計算して見て下さい
不明な点があれば補足を)

お礼

他でも一緒に考えていたところ、同じ答えになりました。丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.2

gamma1854

∫[1~a]【log(x) - {(log(a)/(a-1)}(x-1)】dx > 2
を解くことになります。
少し面倒ですが式を整理して、
(a+1)*{(1/2)*log(a) - 1} > 0.
第一因数は正ですから、
log(a)/2 > 1 ⇔ a>e^2.

お礼

回答ありがとうございました。