積分; 面積計算に絶対値

質問

[問]曲線y=x^3 - x と曲線上の点(t, t^3 - t) における接線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
　 　ただし、t ≠ 0 とする。

この問を解いていくと t<0 か t>0 かで場合分けする必要がでてきます。
その際に私は場合分けせずに

|∫......dx | と絶対値を付けて最後まで計算しました。

もちろん、tを場合に分けても計算結果は同じになります。
これは減点されるのでしょうか。

お願いします。

回答No.4

crimo

されないと思っています。

ただ、この問題の場合は３次関数と接線に囲まれた部分なのでtの４次式になるので
「最後まで計算しました。」とおっしゃっているのでしょうが、
答えが３次式の場合などは結局tの正負で場合分けをしてはずすことになるでしょうから
どこかでは場合分けすることになるでしょう。

・・・でも、実は自分は減点されるべきと思っているので、
どちらかというと減点される理由が知りたくて回答しました。
どなたか詳しく教えていただけると幸いです。

お礼

意見に感謝します。

それでしたら、もう少しこの質問は閉じない方が良いですね。

回答No.3

alice_44

だって、面積は |∫f(x)dx| じゃなく
∫|f(x)|dx だもんねえ。
被積分関数の絶対値を解消して
積分計算がやりやすくするために、
場合分けが必要なわけで。
積分区間全域で f(x)≧0 または f(x)≦0
と定符号であれば、
|∫f(x)dx| = ∫|f(x)|dx だけど。
それは、場合分けしてみたら場合が一つだった
ってことだから。

お礼

結果的に同じ数値になるってだけなので、場合分けは必須のようです。

回答ありがとうございました!

回答No.2

Tacosan

まず一般論としてあなたが「考える」だけではだめです. もちろんあなたが (自分の思考を相手に伝えることのできる) 超能力を持っていれば別ですが.

そして, そのような超能力を持っていたとしても「面積は負にならない」ではだめです. 例えば
「曲線 y = x^3-x と x軸で囲まれた部分の面積を求めよ」
という問題があったとしたら, 同じように
|∫......dx | と絶対値を付けて最後まで計算しました。
とやりますか?

お礼

なるほど確かに同じような操作はしませんね。

素直に場合分けしたほうが吉かな。

回答No.1

Tacosan

「 |∫......dx | と絶対値を付けて最後まで計算しました。」
で正しく求まる根拠がきちんと書いてあれば OK.

書いてなかったら採点者の判断次第で減点されても文句は言えない.

お礼

回答ありがとうございます。

｀面積は正(負にはならない)｀を根拠と考えています。
しかし、なんとなく弱い気がしますね;;