積分

質問

積分の問題です。計算過程と結果をお願いします

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

tan(x/2) = t とおくと
sinx = 2 sin(x/2) cos(x/2)
= 2 tan(x/2) {cos(x/2)}^2
= 2t / (tt + 1)
よって
sinx - 2 = { 2t / (tt + 1) } - 2
= (-2tt + 2t - 2) / (tt + 1)
より
1 / (sinx - 2) = (tt + 1) / (-2tt + 2t - 2)

t = tan(x/2) の両辺を x で微分して
dt/dx = (1/2) [ 1 / { cos(x/2) }^2 ]
= (1/2) (tt + 1)
よって
dx/dt = 2 / (tt + 1)
また、x = 0 のとき t = 0 であり、x = π/2 のとき t = 1 である。

よって
∫(0→π/2) [ 1 / { (sinx) - 2 } ] dx
= ∫(0→1) { (tt + 1) / (-2tt + 2t - 2) } { 2 / (tt + 1) } dt
= ∫(0→1) { 1 / (-tt + t - 1) } dt
= - ∫(0→1) { 1 / (tt - t + 1) } dt

ここで
tt - t + 1 = { t - (1/2) }^2 + (3/4)
= { t - (1/2) }^2 + (√3/2)^2
と平方完成できる。
t - (1/2) = (√3/2) tan u …(*)
と置換する。このとき
{ t - (1/2) }^2 + (√3/2)^2 = (3/4) (tan u)^2 + (3/4)
= (3/4) { 1 + (tan u)^2 } = (3/4) { 1 / (cos u)^2 }
より
1 / (tt - t + 1) = (4/3) (cos u)^2
となる。

(*)の両辺を u で微分すると
dt/du = (√3/2) { 1 / (cos u)^2 }
また、t = 0 に対して u = -π/6 、t = 1 に対して u = π/6 と取ると

- ∫(0→1) { 1 / (tt - t + 1) } dt
= - ∫(-π/6→π/6) (4/3) (cos u)^2 * (√3/2) { 1 / (cos u)^2 } du
= - ∫(-π/6→π/6) (2√3/3) du
= - [ (2√3/3) u ] (-π/6→π/6)
= - (2√3/3) { (π/6) - (-π/6) }
= - (2√3 π) / 9 …答

回答No.1

EH1026TOYO

∫[0,π/2] 1/(sinx-2) dx = -2π√3/9

計算ミスってなければ・・!