積分で面積を求める

質問

「ｘｙ座標平面において、放物線C：ｙ＝ｘ＾２　および放物線C上の2点A（a,a^2)、B(b,b^2)が与えられている。ただしa>b。点Aおよび点Bにおける放物線Cの接線をそれぞれla、lbとして次の各問いに答えよ。
(1)接線la,lbの交点の座標を求めよ。
(2)放物線Cおよび2本の接線la,lbで囲まれている部分の面積Sを求めよ。
(3)a,bはab=-2を満たし、aが正の数の範囲で変化するとき(2)で求めた面積Sの最小値を求めよ」

という問題に取り組んでいます。
(1)la：ｙ＝2ax－a^2、lb：ｙ＝2bx-b^2と出て、交点の座標は、2ax－a^2＝2bx-b^2として出しました
（a/2＋b/2、ab）

(2)は2つの部分に分けて積分計算しようとしたのですが、うまくいきません。複雑すぎるのですが、何かいい方法はあるのでしょうか？

(3)は(2)が出ていないのでわかりません。

回答いただけるとありがたいです。宜しくお願いします

回答No.2

tan816 · ベストアンサー

こんにちわ。
(２)の問題を解いて見ましょう。
DcSonicさんのおっしゃる通り、２つの部分に分けて計算していきます。
まず(1)で２本の直線の交点が(a/2+b/2, ab)と出ました。
ここでＸ座標のみに注目し、さらにa>bも考慮し、直線と２次関数の交点のＸ座標(bとa)を考えると、
b < ｘ < a/2+b/2 が、２次関数とlbを使い、
a/2+b/2 < x < a が、２次関数とlaを使いますね。

ですから∫[a/2+b/2,b] X^2-２bx+b^2 dx
同じく　∫[a,a/2+b/2] X^2-２ax+a^2 dx

あとは普通に定積分を解いていき、足し合わせれば面積は出ると思います。
そこまで複雑ではない気がしますが、間違っていたらすいません。

回答No.1

postro

こんにちは
∫(x-a)^2dx
=(1/3)(x-a)^3 + C
を知っていると便利です。これを使ってみて！