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数学I 等式を満たすΘ

0度≦Θ≦180度のとき、次の等式を満たすΘを求めよ。 (1)sinΘ=1/√2 (2)cosΘ=ー1/2 授業で習ったのですが、最初から何も理解できませんでした。 インターネットで解き方を探したところ、暗記をしたほうが 早いという意見が多かったのですが、私はどのようにその答えへ たどりつくのかが知りたいので、途中式を書いてもらえると とても助かりますm(__)m ちなみに(1)は授業で画像にある図を書きました。 どなたか(1)と(2)を教えてくださいませんかm(__)m

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  • maskoto
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回答No.1

サイン、コサインの、(やや広い意味の) 定義は、だいたい次の通りです 原点中心に半径1の円周を想定する 円周上の座標(1、0)を点A また円周上の任意の点Pの座標を(x、y)とする OAから反時計回りに測って、OPが角度θをなす位置にあるとき sinθ=y(=Pのy座標) cosθ=x(=Pのx座標) この定義は数学2でもじゆうようとなってくるので記憶してください (1)定義を踏まえて単位円(半径1の円)の周上に P(x、1/√2)である点Pを打点すれば OAとOPのなす角度をθとして sinθ=Pのy座標=1/√2 となり sinθ=1/√2と言う題意を図に表現出来た事になります  そして、そのようなPの位置は 図形の対称性から 画像のように二箇所あります Pが第一象限の点のとき 画像のような直角三角形(右)を書くと 三平方定理によりPのx座標は1/√2であり この直角三角形は直角二等辺三角形であることがわかります ゆえにθ=45が導き出されます Pが第二象限にあるときも同様にして 左の直角三角形が直角二等辺三角形だとわかるので ∠AOP=θ=180−45=135度となります これら2つが答えです (2)も同様に定義を使って考えます(ただしθは0度から180度までに範囲を限定した場合) cosθ=−1/√2なら Pは円周上のx座標が−1/√2となる所に打点します この場合もPから垂線を下ろして 直角三角形を作り 三平方定理により 作った三角形が直角二等辺三角形だとわかるので θ=135度となります

saboten874630
質問者

お礼

みちがえるほど解けるようになりました!! ありがとうございます!!

その他の回答 (1)

回答No.2

(1) sinは、直角三角形の斜辺と底辺に挟まれた角の角度がΘの時の「高さ/斜辺」の値です。 直角三角形では「底辺²+高さ²=斜辺²」が成り立ちます。 この式に、高さ=1、斜辺=√2を代入すると「底辺²+1²=(√2)²」になりますから「底辺²+1=2」になり「底辺²=2-1」つまり「底辺=√1」になり、底辺=1になります。 底辺が1、高さが1の直角三角形を考えると「直角二等辺三角形」になり「45度、45度、直角」の三角形と判ります。 また、図のように「y軸に対象の三角形」も、sinの値は同じになりますから「45+90=135」で、答えは「45度、135度」になります。 (2) cosは、直角三角形の斜辺と底辺に挟まれた角の角度がΘの時の「底辺/斜辺」の値です。 cosΘが-1/2って事は、底辺が-1、斜辺が2の直角三角形です。 底辺がマイナスなので、原点から左の方向に底辺があるので、角度は90度~180度の間にあります。 で、「底辺²+高さ²=斜辺²」から「1²+高さ²=2²」つまり「高さ²=4ー1」なので「高さ=√3」になります。 1辺の長さが2の正三角形を縦半分に真っ二つに切ると「高さ√2、底辺1、斜辺2」の直角三角形になりますから、角度は60度……ではありません。底辺にマイナスが付いてますから、角度は「180度から60度戻った角度」つまり「120度」が答えです。

saboten874630
質問者

お礼

わかりやすい回答をありがとうございます!! 解けるようになりました!! ベストアンサーとても迷いました、、

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