数学「三角関数」の問題が分りません。教えてください

質問

0≦θ≦πのとき、次の方程式、不等式を解いてください。（途中式もお願いします。）
（１）sinθ+√3cosθ=2　（２）sinθ－cosθ>1

ちなみに答えは、（１）θ=π/6
（２）π/2<θ<π
です。
よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞0≦θ≦πのとき、次の方程式、不等式を解いてください。（途中式もお願いします。）
＞（１）sinθ+√3cosθ=2　
合成の公式より、
２sin（θ＋π/3）＝２
sin（θ＋π/3）＝１
0≦θ≦πより、π/3≦θ＋π/3≦π＋π/3だから、
θ＋π/3＝π/2
よって、θ＝π/6

＞（２）sinθ－cosθ>1
合成の公式より、
√２sin（θ－π/4）＞１
sin（θ－π/4）＞１／√２
0≦θ≦πより、－π/4≦θ－π/4≦π－π/4で、
単位円から、ｙ＝１／√２より上の範囲だから、
π/4＜θ－π/4＜3π/4
よって、π/2＜θ＜π

計算を確認して下さい。

回答No.2

info22_

単位円の書き方、使い方をマスターし、三角関数の合成法を理解していれば、難なく解ける問題でしょう。
単位円については教科書を復習して下さい。

(1)
sinθ+√3cosθ=2
(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ=1
sin(π/6)sinθ+cos(π/6)cosθ=1
cos(θ-(π/6))=1
0≦θ≦πより　-π/6≦θ-(π/6)≦5π/6
単位円から
θ-(π/6)=0 ∴θ=π/6

(2)
sinθ-cosθ>1
√2{(1/√2)sinθ-(1/√2)cosθ}>1
(1/√2)sinθ-(1/√2)cosθ>1/√2
sinθcos(π/4)-cosθsin(π/4)>1/√2
sin(θ-(π/4))>1/√2
0≦θ≦πより　-π/4≦θ-(π/4)≦3π/4
単位円から
π/4<θ-(π/4)<3π/4 ∴π/2<θ<π