中学数学 空間図形の応用問題

質問

画像の大問で、最後の問題なのですが
図１の円錐の底面が水平になるように置き、頂点Pから６cmの高さになるところまで水を注いだ。この水をすべて図１の半球に移したとき、移した水の体積は、図１の半球の体積の何％であるか。

この問題の解き方を教えてください。
よろしくお願いいたします。
ちなみに、答えは５０％です。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

三平方定理により
円錐の高さは√(9²-3²)＝√72
よって、注いだ水(これも円錐形状)と円錐容器の相似比は
6:√72＝1:√2
体積比は1³:√2³
円錐容器の体積は
3²π×√72÷3
半球容器の体積は
4π×3³÷3÷2
これらの事から
水の体積＝(1/√2³)×{3²π×√72÷3}
水の体積/半球体積
＝(1/√2³)×{3²π×√72÷3}÷(4π×3³÷3÷2)
約分して
＝1/2
＝50%と求まります

お礼

理解できました。ありがとうございます。

回答No.3

gamma1854

円錐形の容器に高さ6cmに達するまで水を注いだときの水量は、
(1/3)*pi*(3/√2)^2*6 = 9pi (cm^3).
一方、半球形の容器の体積は、
(2/3)pi*3^3 = 18pi (cm^3).
これより明らか。

お礼

ありがとうございます！！

回答No.2

kiha181-tubasa

素直に，円錐形に入っている水の体積と半球の容積を計算しましょう。単位の㎤は省略して書きます。
円錐の水の体積は
(1/3)*π*(半径)^2*(高さ)
ですが，問題はこの半径ですね。
高さが6√2のときが3なので
（高さと半径は比例することに注意して）
求める半径rは
r:3=6:6√2
r=3/√2
従って水の体積は
(1/3)*π*(3/√2)^2*6
=(1/3)*(9/2)*6:π
=9π

半球容器の容積は
(1/2)*(4/3)*π*(半径)^3
=(1/2)*(4/3)*π*(3)^3
=18π

これで
水の体積は、図１の半球の体積の50％であることがわかりました。

お礼

ありがとうございます！助かりました。