中学二年生の数学の問題について

質問

先日行われた定期テストの数学の問題でどうしても理解できないところがあります。性格上、先生に質問することができず（情けないですが）教えてください。

＜問題＞

底面の半径が６センチの円錐を、円錐の頂点Aを中心として平面上に転がすと、1周して元の場所に戻るまでに円錐は4回転しました。

このとき、円錐の側面積を答えなさい。

＜答えの式＞

12π×24×２分の1（パソコンで分数が打てないのですみません）
＝144π平方cm

以上の答えの中で、２分の1がどこから出てきたのでしょうか？これは公式ですか？
12πは円錐の底面の円周、２４cmは円錐の母線というのは理解できました。
二分の一はどうしてもわからないのです。

本来、問題には絵が描いてありますが載せれないため問題だけですみません。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

[円錐の側面積S]＝
[展開した扇形の弧の長さ(2πx6=12πcm)]×[母線の長さ12πx4/(2π)=24cm]×(1/2)
これは扇形の面積の公式ですので覚えておきましょう。

ここで
[展開した扇形の弧の長さ(2πx6=12πcm)]＝[直円錐の底面の円周(2πx6=12πcm)]

扇形の面積Sの公式
S=RｘL/2(R=扇形の半径、L=円弧の長さ)
の導き方
S=(全円の面積πR^2)ｘ(中心角θ)/(全円周の角2π)
=(πR^2)ｘ（扇形の弧の長さL）/（全円周の長さ2πR)
=RL/2
です。

>二分の一はどうしてもわからないのです。
公式の中の2で割るための(1/2)倍です。

お礼

公式なのですね。教科書に載っていないのです。覚えようと思います。

回答No.10

noname#157574

円錐の底面の周長と側面（扇形）の弧の長さが等しいことに着目する。
4回転したので側面積（扇形の面積）は（4×6）²π/4＝144π（cm²）
【備考】1周するまでにn回転したときの円錐の側面積は，底面の半径をrとして
π（nr）²/n＝πnr²

回答No.9

kenjoko

No.８です。訂正があります。

＞公式ではない。
公式です。・・・No.５さんを参照

公式を用いないで解いたとき、「×1/2」が出てこない場合がある。

回答No.8

kenjoko

＞12πは円錐の底面の円周、２４cmは円錐の母線というのは理解できました。

そこまで分かったら、
点Aを中心とし、半径２４の円Aの面積と円周の長さは？
円錐の側面を開くと半径２４、弧１２πの扇型になる。

扇型の面積は弧の長さに比例する。
したがって問題の側面積を求める式は

円Aの面積×（扇型の弧の長さ÷円Aの円周の長さ）となる。

※この解き方では「×1/2」は出てこない。

＞　＜答えの式＞
12π×24×1/2＝144π　　　　　（平方センチメートル）
＞２分の1がどこから出てきたのでしょうか？これは公式ですか？

公式ではない。

＞二分の一はどうしてもわからないのです
問題が解けるとわかる。

回答No.7

noname#147892

ごめん、No.6を訂正させて。。。

No.3だ。No.3様のよう考える・・・だった。

回答No.6

noname#147892

普通にこの問題文からだと、No.4様のように
たいていの日本人なら考えると思います。

で、もしかして？ですが、
問題文にただ「円錐の側面積を答えなさい」としか書いてありませんでしたか？
もしそうなら、２分の１を説明できません。

なにか書いてあるはずですよ。

お礼

ありがとうございました。他にはですが、問題には回転するイメージの図が書いてあるだけです。

回答No.4

tarsan0013

数学はど素人ですが単純にその問題をイメージしたらこういうことなんじゃないかと？

お礼

ありがとうございました。図を見るとわかりやすいです。

回答No.3

19721219

半径6cmの円→円周は12π

円錐を4回転すると1周すると言う事は、
円錐の展開図における側面積の角度、360°÷4=90°と言うのが判ります。

つまり、12π×4=48πが円周の円の1/4と考えますので、

円錐の展開図における側面積の半径をrとすると、
2πr=48π
r=24

半径24の円の1/4の面積が求める答えなので、
24×24×π/4=144πcm2

が答えなので正解なのですが・・・

問題回答の意義が見えないですね。。。

質問の回答になってなくてすいませんでした。。。

お礼

わかりやすい説明と図です。でもこれだと1/2が出てこないですよね。公式だと他の方の回答にありましたので覚えてしまおうと思います。

回答No.2

mesenfants

公式です。

これは中２の１学期でやる範囲です。式の利用のところです。

おおぎ形（円錐の側面）の半径を「r（アール）」、弧の部分を「ｌ（エル）」とすると、

Ｓ＝ｌ・ｒ÷２（エス・イコール・２分のエル・アール）

これを示せという問題はけっこう出されます。

ふつうの公式から、

Ｓ＝ｒ×ｒ×π×ｌ÷２πｒ＝ｌｒ/２

ですが、ｌ÷２πｒの部分が中心角÷３６０度に相当しています。

そのほか、ドーナツの面積なども外側の円から内側の円を引かないで、長い長方形とみなして求めるのも教科書にのっているはずです。

中学時代は人生でいちばん大事なときだと思います。かげながら、応援しています。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。

回答No.1

ROKABAURA

円（扇形）の面積は
底辺（円周）×　高さ÷2

この式を使ったのです。

お礼

シンプルに公式がわかりました。ありがとうございます。でも教科書にはこの式は載っていないのです。