この立体図形の問題の解き方

質問

この問題の答えは分かっているのですが，（２）の(2)の解き方を教えていただけないでしょうか？
正四角すいから，NMADを底面とする四角すいの体積を引いたものが（２）の(2)の答えになると思います。この四角すい「高さ」はどうすれば出るでしょうか？画像を添付しますので一緒に考えていただけないでしょうか？

【以下問題】
すべての辺の長さが８の正四角すいO－ABCDがある。OA上の点をPとし，OB，OCの中点をそれぞれM，Nとする。この立体を，3点P，M，Nを通る平面で２つに分けるとき，次の問いに答えよ。

（１）PがOAの中点のとき，頂点Oを含むほうの立体の体積を求めよ.
答　3分の32√2

（２）PがAと一致するとき，次の(1)，(2)に答えよ。
(1)切断画の面積を求めよ。
答　12√11

(2)頂点Bを含むほうの立体の体積を求めよ。
答　3分の160√2

回答No.4

noname#189285 · ベストアンサー

No1で回答した者です。最初に、No1で書いた「左右の三角錐」は「左右の四角錘」の誤りです。大変申し訳ありません。

補足に関してですが、体積を求める立体を、左右の四角錘と真ん中の三角柱を三分割にしたイメージは下図の通りです。

参考になれば幸いです。

お礼

きれいな図まで書いていただいてとても分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.5

nag0720

＃３です。

もう少し簡単な方法がありました。

＃３で定めた点E,Q,Fのほかにもうひとつ点GをBCの中点とすると、
三角形OEGの面積は、8*(4√2)/2=16√2
三角形OEQの面積は、三角形OEGの半分だから、
EQ=2√11を底辺としたときの高さOFは、
OF=8√2/(2√11)*2=(8√22)/11
（＃３のOF=√(128/11)と同じです）

回答No.3

nag0720

四角錐O-NMADの高さを出す方法は、

（２）の(1)の問題の過程で、台形AMNDの高さは2√11であることが分かっているものとします。

ADの中点をE、MNの中点をQとして三角形OEQは考えると、
OE=4√3、OQ=2√3、EQ=2√11
OからEQに下ろした垂線の交点をFとすると、
(OF)^2+(EF)^2=(4√3)^2
(OF)^2+(QF)^2=(2√3)^2
EF+QF=2√11
これを解くと、
OF=√(128/11)
となり、これが四角錐O-NMADの高さになります。

求める体積は、
(64*4√2)/3-(12√11)*√(128/11)/3=(256√2)/3-(96√2)/3=(160√2)/3

補足

回答ありがとうございます。
√（128／11）の部分は√11分の128（ルートの中に分数）ということですよね？
11分の√128ではないですよね？

回答No.2

Quattro99

私も違う方針ですが。
体積を求める立体は三角錐MABDと四角錐DBCNMを足したものです。
前者の体積は全体の半分の半分つまり1/4で、後者の体積は全体の半分の3/4つまり3/8なので、合わせると全体の5/8です。（１）で求めた体積は全体の1/8ですから、（２）の(2)で求める体積は（１）で求めた体積の5倍です。従って3分の160√2です。

回答No.1

noname#189285

書かれている考え方と違いますが、(2)の(2)に関して最も簡単と思う方法を書いておきます。

なお、他の問いが解けているので、四角錐の高さは4√2であると分かっているものとして回答致します。

下の図は、四角錘を上から見た図です。赤線で分けたら、左右の三角錐と真ん中の三角柱(横から見たら柱)の体積を足して出したら良いです。

三角錐は底辺の面積が2×8＝16、高さが2√2なので体積は1/3　×16×2√2＝(32/3)√2です。

三角柱は、側面積が1/2　×8×2√2＝8√2、高さ(元の方向で言えば長さ)が4なので、体積は4×8√2＝32√2です。

従って求める体積は

(32/3)√2＋32√2＋(32/3)√2

＝(160/3)√2

以上です。

補足

早速の回答ありがとうございます。上から見ると立体をイメージし辛くて…
左右の三角錐と真ん中の三角柱はどれに当たりますか？ABC…で教えていただけるとありがたいです。