グラフがX軸から切り取る線分の長さ

質問

放物線 C:y=x²+px+qは、点(1,9)を通り、直線x=aを軸とする。た だし、p,qは定数とする。

Cがx軸から切り取る線分の長さが8となるとき、aの
値を求めよ
(p=-2、q=2a＋8です）

解答では判別式D＞0、x²+px+q=0を解いていたのですが、判別式の条件もなくてはならないのですか？線分の長さが8になればDは正になっているということでは無いのですか？

回答No.4

maskoto

結論を言うと、D>0関連の確認は必要なさそうです
(なぜならば、虚数解は必ず共役な複素数となるから、その差は実数にならないため)

虚数を履修したら、私の解説を深く吟味して見て下さい

回答No.3

maskoto

①２つの解の差＝8↔切り取る長さが8
が成立ならば、つまり、２つの解の差＝8であることは、切り取る長さ＝8であるための必要十分条件なら、締めの(D>0関連の)確認は不要です

②２つの解の差＝8←切り取る長さが8
すなわち、
２つの解の差＝8は、切り取る長さ＝8であるための必要条件
と言う事なら
２つの解の差＝8から求めた各文字の値は
切り取られる長さ＝8であるために
必要十分ではないので十分の確認
つまりD>0関連の確認が必要です

で、実際、必要十分なのか、それとも必要条件なのか？どっちでしょうか？

例えば、2解がそれぞれ
4-iと12-iと言う虚数解になると言う事が有り得るなら、2解の差が8になるのは実数解に限らないことになります(このとき虚数解だから、Cはx軸を切り取らない！)
つまり、２つの解の差＝8であっても、切り取る長さ＝8とは限らないので、これは②の必要条件と言う見方が正しい事になり、D>0の確認が必要です

虚数解の差が8になる事は絶対にないならば
言い換えると、2解の差が8になるのは実数解に限るなら
①ということになりますから、D>0の確認は不要

さて、貴方はどちらだと考えますか？
って所ですね

補足

まだ虚数解は習っていない状況です

回答No.2

f272

> 解答では判別式D＞0、x²+px+q=0を解いていたのですが、判別式の条件もなくてはならないのですか？

その解答がどういうロジックで話を進めているのかがわからないと必要かどうかもわかりません。
私ならば，放物線Cの軸がx=aで，Cがx軸から切り取る線分の長さが8だから，x^2+px+q=0の解はa-4とa+4になるので，解と係数の関係からp=-2a，q=a^2-16，またCが点(1,9)を通ることからp+q+1=9です。
したがって-2a+a^2-16+1=9からa=-4または6が導かれます。

回答No.1

maskoto

もう少し詳しい解答の流れが分からないと、断定はできないが
√D＝8と言うような式を使っているなら、D>0は不要だと思います

補足

条件を満たす時らCはx軸と異なる2点で交わるからD＞0として、不等式を解くとa＜-2,4＜a①
この時のx^2＋px＋q=0の解をもとめて、解の大きい方から小さいほうをひいた値=8。この方程式を解いて①を満たすかどうか確認している感じです。