高校数学 放物線がx軸から切り取る線分の長さ

質問

教えてほしい問題です。　
解ける方がいらっしゃったら、ご解答おねがいします！

問題　　m, n を自然数とし、２次関数y=x^2－2mx－n　のグラフをCとする。

（１）グラフCの頂点が放物線y=－x^2＋3x－5上にあるとき、m, n の値をそれぞれ求めよ。

（２）グラフCがx軸から長さ ４ の線分を切り取るとき、m, n の値をそれぞれ求めよ。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

Cの平方完成すると
　y=(x-m)^2-(m^2+n)
頂点の座標は　(m,-(m^2 +n))

Cの頂点が放物線y=－x^2＋3x－5上にあるので代入すると
　-(m^2+n)=-m^2+3m-5
整理して
　n=5-3m
m,nは自然数なのでm=1,n=2の組合せしかない。

(2)
グラフCがx軸から長さ ４ の線分を切り取るとき
　x^2-2mx-n=0
が２つの異なる実解p,q(p<q)をもち、かつその差q-pが４であればよい。
　異なる２実解条件より　判別式D'=m^2+n>0
　　m,nが自然数なので常に成立。
　２次方程式の解の公式から
　　p=m-√(n+m^2),q=m+√(n+m^2)
　差の条件から
　q-p=2√(n+m^2)=4
　n+m^2=4
　∴n=4-m^2
m,nは自然数なので,m=1しかない。このとき n=3

お礼

ご解答ありがとうございました！
とても助かりましたm(__)m

回答No.1

aries_1

(1)y=(x-m)^2-m^2-n
よって頂点の座標は(m,-m^2-n)
これがy=-x^2+3x-5上にあるので、-m^2-n=-m^2+3m-5⇔n=-3m+5

(2)Cとx軸との交点の座標はx=m±√(m^2+n)
ニ交点間の座標が4なので、(m+√(m^2+n))-(m-√(m^2+n))=2×√(m^2+n)=4
⇔√(m^2+n)=2
⇔m^2+n=4

(1)(2)共にもう少し条件はありませんか?もう一つ式が立たないと文字が消せません。

お礼

ご解答どうもありがとうございました！(^o^)

補足

（１）の続きがありました。

このとき、グラフCはx軸から長さ２√３の線分を切り取る。　　

です。書きもらしすみません。
これ以外には条件は書いてありませんでした・・・(>_<)