γ行列について質問です。

質問

γ行列は
γ^0(γ^μ)^†γ^0=γ^μ
を満たすことを示してください。γ行列はディラック表示とは限りません。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

γ行列は、量子場理論のディラック方程式において重要な役割を果たす行列であり、ディラック方程式で使用されるγ^μ（μは0から3までのインデックス）は、次のディラックのアルファ行列とベータ行列の性質に基づきます。

1. γ^μγ^ν + γ^νγ^μ = 2g^μν・I （クリフォード代数の性質）
2. (γ^0)² = I
3. (γ^i)² = -I (iは1から3の間のインデックス)

ここで、g^μνはメトリックテンソルで、Iは単位行列です。また、γ^0は、その構造によって時間成分を表す行列であり、当然エルミート（†はエルミート共役を表す）でなければなりません。

詳細に関しては、γ行列の具体的な形としてのディラック表示に限らず、一般的にこの性質を持つ行列（γ^μ）について考察することができます。アルファとベータの詳しい構成や個々のγ行列の具体的な成分には触れずに、ディラックの代数の基本的な性質に基づいています。

式 γ^0(γ^μ)^†γ^0=γ^μ が成り立つことを示すには、次のことを確かめる必要があります。

- γ^0はエルミートであるため、(γ^0)^† = γ^0。
- γ^0の2乗が単位行列であるため、γ^0とその逆行列が同じになります。

これらの性質を使えば、μが0の場合と空間成分の場合で分けて示すことができます。μ=0の場合、γ^0自体がエルミートなので、左辺はγ^0(γ^0)^†γ^0となり、結局γ^0になります。空間成分の場合（γ^i）、γ^iは反エルミートであるため、(γ^i)^† = -γ^iとなります。しかし、γ^0とγ^iは反交換しているため、γ^0(γ^i)^†γ^0 = -γ^0γ^iγ^0となり、この結果はγ^iに等しくなります。

すなわち、これらのγ行列の基本的な性質を用いて、あなたが求めている関係 γ^0(γ^μ)^†γ^0=γ^μ が示されます。これはγ行列が満たすべき基本的な性質の一つであり、それが何らかの表示法に限定されることなく一般的に成り立ちます。この方程式は、ディラック方程式における相対論的な量子力学の記述に不可欠です。

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お礼

γ^iは反エルミートであることを証明してください。

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