行列についての質問です。

質問

Cを複素数を成分とするn×n行列とし、Cの固有値はすべて絶対値が１より小さいと仮定する。このとき、C^k→O( k→∞)を示せ。(ただしOはn×nの零行列)という問題なのですが、解法がわからないので教えていただきたいです。できれば略解も合わせて回答していただきたいです。よろしくおねがいします。

回答No.2

ask-it-aurora · ベストアンサー

失礼，間違えました．次の議論なら正しいです．

直前の記号で C^k の固有値は (λ_i)^k であることから (λ_i)^k → 0 より固有値がすべて 0 に収束するので C^k → 0．

お礼

回答ありがとうございます。おかげで理解することができました！ご協力ありがとうございました。

回答No.1

ask-it-aurora

行列式が固有値の積で表せることを知っていれば一目で解けます．

（略解）
固有値をλ_i, 絶対値が最大のものをλとおく．
|det(C)|^k = (|λ_1| ... |λ_n|)^k < |λ|^(nk) → 0
よって C^k → 0.

お礼

素早い回答ありがとうございました！