数３ 曲線の凹凸

質問

次の曲線の凹凸を求めたいです
(1)y=2/x^2+1
(2)x-3cosx(0<x<2π)
微分をした後、どうやったら解答になるかが知りたいです
説明があると助かります

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

凹凸を調べるのなら，第２次導関数を求めてその符号の変化を調べればよいことはご存知ですね。
つまり
y">0⇔グラフは下に凸
y"<0⇔グラフは上に凸
です。
数Ⅲの教科書では表を使って解答していますが，文章で説明するより表現が楽だからでしょう。
しかし，y"の符号を調べるのですから，当然不等式の計算になります。
ここではテキスト文書なので表を書くのが楽でないので，不等式を解く計算を記します。

（１）について
y=2x^(-2)+1　（x≠0)
y'=2*(-2)x^(-2-1)=-4x^(-3)
y"=-4*(-3)x^(-3-1)=12x^(-4)=4/(x^4)
となり，0以外のすべての実数に対して
y">0
x=0では関数は定義されないので
定義域内で常に下に凸である。

（２）について
y=x-3cosx　（0<x<2π）
y'=1-3(-sinx)=1+3sinx
y"=3cosx
0<x<2πにおいて
y">0⇔cosx>0⇔0<x<π/2,3π/2<x<2π
y"<0⇔cosx<0⇔π/2<x<3π/2
これから
0<x<π/2,3π/2<x<2πで下に凸
π/2<x<3π/2で上に凸
となります。

お礼

教えて下さりありがとうございます!!
説明も分かりやすくとても助かりました
ありがとうございます!!