数学得意な人、どのくらいで解けますか?(三角関数)

質問

y=2sinx+√3・sin2x (π/2≦x≦π)の最小値を求めよ、という問題があります。

解答は-1/2です。
sinxではまとめられないので、微分してy'=g(cosx)のグラフにして、増減表を書きます。

(1)この問題、どのくらいの時間で解けますか?
ちなみに、私は1度目は3時間(1時間経った時点で1度解答を見て解き方を確認)、2度目は1時間、3度目は1時間かかりました…

(2)sinxでまとめるとまずい、ということに気づくのに、どれだけ時間がかかりますか?
　私は1度目はsinxでまとめられない、というところまでたどり着きませんでした。(途中で解答を見たので、最初から微分してcosxでまとめました。)
　なぜsinxでまとめられないのか、ということを説明するまで解答するには、どのくらい時間がかかりますか?

(3)0=g(cosx)の解を求めた後、条件に適合する解が極大値か極小値か判別するのにどれくらい時間がかかりますか?
　３度目に挑戦して、この部分で10分かかって自分でも驚いていますが…

(4)最近、この手の計算をしている時に、思考停止していることが多いです。(途中で何を考えていたかわからなくなる。)
一応、今何を求めているのか、次にどんな方針で何を計算するのか、全て紙に書き出しているのですが、みなさんはどのように対策されていますか?

よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

自分も5分～10分というところだと思いますが、もっと計算行為の目的を明確化した方が良いと思います。

　　・微分して0とおく．

　これが目的の基本です。微分するには、積や割り算はない方が良い。√なんかはもっての他。±だけだと項別に微分できるので、楽。そうすると、

　　1)y=2sinx＋2√3・cosx・sinxの変形は、やめた方が良い．

　　2)y=2sinx±2√3・sinx・√(1-sin^2x)なんかは、もっての他．

　　3)素直に、y'＝2cosx+2√3・cos2xとするのが、無難．

　sin(cos)でまとめるのは、3)の段階で考えれば良い事。ここで「解けない問題は出ない」と出題者を信じる事。そうすると3)は、必ずsinかcosでまとまるはず。3)を見れば、cosでまとめるのが自然。

　まとまるはずなので、公式ストックを検索すると、cos2x＝cos^2x－sin^2x＝cos^2x－(1－cos^2x)＝2cos^2x－1、が出てくる。

　　4)素直に、y'＝2cosx+2√3・(2cos^2x－1)＝4√3cos^2x＋2cosx－2√3＝0、とする．

　4)は2次方程式なので解ける（信じて良かった）。結果は綺麗になるに違いない（出題者を信じる）。

　　cosx＝(1/4√3)(－1±√(1＋8・3))＝(1/4√3)(－1±√25))＝(1/4√3)(－1±5))＝1/√3，－3/2/√3

　　|cosx|≦1　←　忘れがちなので注意-1！．

　　π/2≦x≦π　⇒　－1≦cosx≦0　←　忘れがちなので注意-2！

　　xがπ/2→πと動けば　⇒　cosxは、0→－1と動く　←　忘れがちなので注意-3！

　結果は綺麗になった（信じて良かった）。1/√3は「忘れがちの注意-1」を満たす。－3/2/√3の方も2乗すれば、9/12なので、注意-1はOK。しかし「忘れがちの注意-2」を満たすのは、－3/2/√3の方だけ。

　後はy'の符号。y'はcosxの2次関数だから、下に凸の放物線を想像する。それが－3/2/√3と1/√3でx軸と交わるから、－1≦cosx＜－3/2/√3で、y'＞0。－3/2/√3＜cosx≦0でy'＜0。よってcosx＝－3/2/√3は極大値。

　・・・と思ってはいけない！。「忘れがちの注意-3」：　xの増減とcosxの増減は逆に動く。よってcosx＝－3/2/√3は極小値。このときsinx＝√(1－9/12)＝√(3/12)＝√(1/4)＝1/2。ここで初めて1)の変形を持ちだし、

　　1)y=2・1/2－2√3・3/2/√3・1/2＝1－3/2＝－1/2

が最小値。

　以上の計算のポイントは、yはxの関数なのだけど、ほとんどcosxの関数として扱える事。ところがそこに最後のトラップが待ってて、「注意-3」に気づかないと、極小を極大と読み違えるという仕掛けになってます。しょせんは馴れですが、xが逆に動けば、極小と極大はひっくり返ります。

補足

ありがとうございます。
ややこしい話で恐縮ですが、一応、この問題は答えを見ながら１度、答えを見ずに２度、計３度解いて正解しています。

>微分して0とおく．
>これが目的の基本です。

なぜでしょうか？
実は、この問題は、とある数学問題集の「微分」の問題に入ったため、最初からどこかで微分を使うことは理解できていたのですが、問題を見る限り、三角関数の問題に見えます。ですので、必要があると感じるまで三角関数だけで解いてみよう、と最初に考えていました。

区間が示された関数での最大・最小を考える際、
「第一に」微分して増減表を書くのは常識なのでしょうか?
数学はあまりやりこんでいないのが原因なのか、私は"グラフの概形を知る"ことを第一義においてしまっています。(これは解析学?　をほとんどやってない弊害でしょうか。重積分とか全微分とか言われると頭が痛くなってきます。)

>>それが－3/2/√3と1/√3でx軸と交わるから、－1≦cosx＜－3/2/√3で、y'＞0。－3/2/√3＜cosx≦0でy'＜0。よってcosx＝－3/2/√3は極大値。

なるほど。そういえば、増減表で極大・極小を見分けるのに、y'の傾きから見る方法がありましたね。yに実値を放り込んで確認していたので、時間がかかっていたようです。

回答No.3

noname#221368

＞数学はあまりやりこんでいないのが原因なのか、私は"グラフの概形を知る"ことを第一義においてしまっています。

　もちろん自分もそうですよ。だからこそ「微分して増減表」と思う訳です。この方法は、手も足も出そうにない複雑な関数でも、なんとか概形くらい知れないか？、という問題意識のもとに開発された方法と思うからです。

＞「第一に」微分して増減表を書くのは常識なのでしょうか?

　常識は言いすぎかも知れませんが、定石の一つなのは間違いないです。なのでこの問題は、三角関数の問題とは、とりあえず捉えません。最大／最小問題と捉え、必要に迫られるまで、三角関数の知識は逆に使わない、という方針になります。次は、ちょうど良い例に思えます。

　　y＝sinx＋cosxの概形を調べよ（0≦x≦π/2）．　　　(1)

　(1)に合成公式を用い、y＝√2・sin(x＋π/4)と変形するのは、確かにスマートです。しかし試験ではないのですけど、このやり方は、やはりハイリスクと思えるのです。(1)では、たまたま結果が単独のsinになったから良かったようなもので、同程度の難しさの和積公式というのはご存知と思います。
　綺麗にまとめた結果が、和積公式の、y＝cosx・sin2xみたいな結果だったら、頭を抱えます。そういう危険を冒すくらいなら、最初から微分して0とおく方がましだ、と思う訳です。何故ならこの方法で、大抵の場合、なんとかなるからです（もちろん万能ではありません。微分すると迷路にハマル場合もあります）。

　　y'＝cosx－sinx＝√2・cos(x＋π/4)＝0　　　　　　　　(2)

　(2)でも合成公式を使うじゃないか！、と思われるかも知れません。その通りなんですが、注目したいのはここです。数学は嫌になるほど論理的に出来てます。2つの方法で同じ結果を出せるなら、結局どこかで同じ事をやる訳です。しかし同じ合成公式の使われ方が違います。(2)ではその零点を見つければ良いよ、という限定目標になっています。(1)のように、sinやcosの概形まで知っている必要はありません。cosはπ/2で0になる、だけを知ってればOKです。

　三角関数のような関数を扱う場合、実用的に役立つ公式なんかは、実は限られてます。そのような縛りのある状況では、使える公式は、多ければ多いほどあり難いです。例えばここで合成公式でなく、和積公式が出てきても、cosx・sin2x＝0ならば、間違いなく役に立ちます。

　どうせ同じ事をやる破目になるなら、楽な条件でやった方がお得だ、と思う訳です。このために、結果として難しさが雲泥の差になる事もあります。「微分して0とおく」は、(1)のようなスマートさには欠けますが、大抵答えを出せるという「強さ」があります。

　答えを出せたという事実は、その数学的状況を「少しは理解した」という事でもあります。少しでも理解できた事は、とても重要だと思います。そうやって少し理解し、答えを出した後で、解法を振り返っても遅くはないと思うんです。スマートな方法を思いつく手掛かりは、じつは(2)のようにあるんですよ。

　まさに試験ではありません。だとすれば色々な数学技術を、数学的状況を理解するために、調査のために使ったって良いと、自分は思います。

お礼

なるほど。合点がいきました。
丁寧に解答いただき、ありがとうございました。
私の最初の問題に対するベストアンサーは以前いただいた方の回答だと思うので、そちらにベストアンサーをつけておきますね。

回答No.1

mister_moonlight

所要時間は　5～10分。
普通に微分すれば　cosxとcos2xが出てくるから、2倍角を使えば解けることはすぐ分かる。
sinxなんて、どこから出てくるの？
どこも考える事もない、三角の微分の“教科書レベル”の演習問題。

補足

>>所要時間は　5～10分。
ありがとうございます。早いですね。私の30倍近くですね。
脳に欠陥があるのでなければ、思考プロセスが間違っているか、思考プロセスの選択速度が圧倒的に劣っているか、という２点のどちらかを改善する必要があると思います。
後者は同様の問題を繰り返せば向上するはずですが、３問同じ問題を繰り返し解いて、向上が見られなかったため、質問させていただいた次第です。

>>普通に微分すれば　cosxとcos2xが出てくるから、2倍角を使えば解けることはすぐ分かる。
私には分かりません。cosxを使うという発想が、一体どこから出てくるのですか?
頭の構造がおかしいからとか、IQが低いからとか、そういう解答を期待しているのではなく、本当に分かりません。

sinx+sin2xという関数を見た時に、まず考えたのは、
「h(x)=f(x)+f(g(x))という形式の関数だな。右辺をなんとかして一本化しないといけないけど、三角関数だから変形できるだろう。」というものでした。

・「もしcos2xならcos^2xに変形できるから、楽だ」
・最大最小を求める方法の一つは、区間が分かっていて、その区間内で極値が判明する時に、区間開始/終了点でのf(x)と、f(x)の極値での値とを比較する方法だ
という二つの知識はありましたが、

これらはsinxで書かれている式の、sinxのままでの変形を棄却する十分な理由にはなり得ません。
(ナゼ、sinxで計算してはいけないのか、という問いに対しては、「計算に時間がかかりそうだから」という答えしか持っていません。もしかしたら、かからないかもしれません。(もし数学の試験か何かだったらこの時点で間違いなく計算方法を切り替えますが。)

実際には、(参考書によると)そのままsinxで式変形すると無理関数になるため、計算続行できず、cosxの形で計算せざるを得ない、ということのようです。(その際、上記の２点から、cosxに計算を切り替えるのは納得まのいく話です。)