三角比 面積の求め方

質問

この問題の答えは②なのですが、自分で計算しても④になってしまいます。
S=1/2×2×2×3.0777で計算しました。
間違っているところや解き方を教えて頂きたいです。
お願いします。

回答No.5

kiha181-tubasa · ベストアンサー

以下のとおり4つの段階に分けて説明します。

（１）正五角形ですから，図のように面積の等しい５つの三角形（二等辺三角形）が集まってできています。

（２）三角形の面積ですが，質問者が高校生なら角Aを挟む2辺の長さがb,cの時，三角形の面積は(1/2)*b*c*sinAで求めることを学習します。（数学Ⅱ）

（３）それを使えば一つの二等辺三角形の面積は
(1/2)*2*2*sin72°=2*0.9511
となります。

（４）正五角形はこれが５つ集まったものですからその面積は
(2*0.9511)*5=10*0.9511=9.511

以上の事から選択肢から選べば②となります。

お礼

ありがとうございます！！

回答No.4

nagata2017

これは4択なのできちんと計算して数値を出す必要のない問題ですね。
半径2cnの円の面積より少し小さい数字を選べばいいのです。
半径2cnの円の面積は　2X2Xπ=12よりちょっと大きい
それよりも少し小さい数字は　9.5 です。

お礼

その考え方は思いつきませんでした、、！
回答ありがとうございます！

回答No.3

hiisuke0011

サインコサインはあくまで底辺に垂線を下ろした時の
三角比数値ですので、そこの部分の扱いの間違いが誤答に繋がっています。
どこでも良いですが円周上の頂点から、半径2センチの底辺（とみなす）へ、垂線をおろしてみてください。
そこには直角三角形が内、外側で2つ描けます。
内側の三角形の底辺、cos72°→2cmｘ0.3090=0.618cm
外側の三角形の底辺、2cm-0.618=1.382cm（これは出す必要はないですが）
垂線の長さ　tan72°→0.618x3.0777=1.902cm
一個の三角形の面積　2cmｘ1.902ｘ1/2＝1.902
正五角形面積 1.902ｘ5＝9.51
よって解は②

お礼

ありがとうございます！！

回答No.2

Higurashi777

ちなみに質問者様が回答を計算する際に使用された3.0777　(tan72）ですが、tan72の場合、ANo.1で設定した線分OBを円の外までずーっと延長し、点Aから線分OAの垂線を上方向に延長した点との交点までの長さになります。
「半径2cmの線分を使用して三角比で出せる垂線はどれになるか」を考えられるとsinを使う問題ということが理解できるかと思われます。

以上、ご参考まで。

回答No.1

Higurashi777

そもそもこの五角形は半径2cmの円に内接していますから、円の面積より大きくなることはありません。
なので、2x2x3.14=12.56cm^2以下になることは確定です。
この時点で③と④は回答から外れることになります。
で、中心Oから左方向に走っている横線と円周の交点をA、「72度」と書いてあり中心Oから左上に走っている線と円周の交点をBとします。
OA=OB=2cm（円の半径）ですよね。
点Bから線分OAに垂線を下ろし、線分OAとの交点をCとします。
三角形OBCで見ると、角BCOが直角になりますから、線分BCの長さは
2cm x sin72 = 2 x 0.9511 = 1.9022
となります。
これより、三角形OABの面積は
2cm (底辺) x 1,9022（高さ) / 2 = 1,9022 (cm^2)
ですよね。
これが5つなので1,9022 x5 = 9.511となり、回答は②となります。

まあそれ以前に「円の内接五角形なので12.56cm以下」「3.1だと少なすぎる（内接五角形の面積が円の面積の1/4以下ということはありえない）」ということが判断できれば面倒な計算をせずに直感的に②と判断できるのですが。

以上、ご参考まで。

お礼

＞まあそれ以前に「円の内接五角形なので12.56cm以下」「3.1だと少なすぎる（内接五角形の面積が円の面積の1/4以下ということはありえない）」ということが判断できれば面倒な計算をせずに直感的に②と判断できるのですが。

この考え方が思いつきませんでした、、。
確かに！と思いました。
回答ありがとうございました！！