三角比

質問

苦手な三角比の問題教えて下さい。答えは出ているけど出
し方がわかりません。　　　　　　　　
０°＜θ＜９０°で、ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝２分の√６のとき
tanθ＝?

回答No.2

eliteyoshi · ベストアンサー

sinθ+cosθ=√6/2の両辺をcosθで割ると、

(sinθ/cosθ)+1=√6/(2cosθ)

となります。ここで、sinθ/cosθ=tanθより

tanθ+1=√6/(2cosθ)　・・・(1)

となり、さらに1+tan^2θ=1/cos^2θより

1/cosθ=±√(1+tan^2θ)　・・・(2)

ですが、0°<θ< 90°だから0<cosθ<1であり、1/cosθ>0となる。よって(2)は

1/cosθ=√(1+tan^2θ)　・・・(3)

となり、(1)に代入して計算すると

tanθ+1=√{6(1+tan^2θ)}/2
tan^2θ+2tanθ+1=3/2(1+tan^2θ)
tan^2θ-4tanθ+1=0　・・・(4)

(4)の方程式を解くと、
tanθ=2±√3

0°<θ< 90°よりtanθ>0ですが、これを満たしているため答えは、
tanθ=2±√3
です。
　ちなみにθ=15°,75°です。

お礼

早速の回答ありがとうございました。
とてもよく分かりました。

回答No.3

noname#24477

＃１さんの解答で
２θ＝３０°，１５０°
θ＝１５°，７５°

で加法定理を知っていれば＃２さんの答と同じになります。

ただこの解答でいくと特殊な角度でないと出来ないので、その意味では＃２さんの解答のほうが一般的と言えるかも知れません。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

iimama

ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ
この手の問題は、とりあえず2乗してみるといいかもです。計算すると、
(sinθ＋cosθ)^2 =6/4
1＋2sinθcosθ = 6/4
2sinθcosθ = 1/2
となりますね。ここで、左辺は
2sinθcosθ = sin2θ
ですから、
sin2θ = 1/2
とできます。ということは、2θ = 60°ですよね？
θ = 30°になるから、
tan30°＝　√3分の1
となります。

お礼

早速の回答ありがとうございました。
とてもよく分かりました。