中2数学教えてください…！

質問

この問題が答えを見てもわかりません。
よろしければ解説をお願いします。

回答No.11

staratras · ベストアンサー

この問題を代数的に一般化して解いてみました。
AE/AD=x,CF/CD=y とし、平行四辺形ABCDの面積をＳとすると

⊿ABEの面積はxＳ/2,⊿BCFの面積はyＳ/2,⊿EFDの面積は(1-x)(1-y)Ｓ/2となります。

求めたい⊿BFEの面積はＳからこの3つを引いたものなので計算すると
⊿BFEの面積＝（1−xy)Ｓ／2　です。

ご質問の問題は　x=1/2,y=2/3 の場合(xy=1/3)だから
⊿BFEの面積=(1-1/3)Ｓ/２=Ｓ/3　48/3=16(平方cm）

なおご質問の問題では面積が48平方ｃｍの平行四辺形ABCDとだけあって、その具体的な形は指定されていません。つまりどんな平行四辺形でも点E,Fを問題のようにとれば、⊿BFEの面積は変わらないということです。そこで特別な平行四辺形である長方形（AB=CD=6cm，BC=DA=8cm)という具体的な数値で考えたのが下の右の図です。出題者の意図にはおそらく反するでしょうから「正しい回答」とはされない可能性が大ですが、「検算」としては役に立つかもしれません。

回答No.10

nda23

補助線は要らないと思いますよ。

全体の面積をBCに対応する辺(=1)×ABに対応する高さ(=1)と
仮定します。ここで言う"1"は「比率」と考えて下さい。
つまり、全体 = 1 × 1 = 1 と考えます。

△ABEは1(ABに対応する高さ)×1/2(AEに対応する辺)÷2→1/4…①
△EFDは1/2(EDに対応する辺)×1/3(DFに対応する高さ)÷2→1/12...②
△BCFは1(BCに対応する辺)×2/3(CFに対応する高さ)÷2→1/3…③
問われているのは全体から①②③を取り除いた部分なので、
1 - (1/4 + 1/12 + 1/3) → 1 - 8/12 → 1 - 2/3 = 1/3
つまり、全体の1/3です。
全体が48なので、48 × 1/3 = 16 です。

理系の私は、このような代数学的解法しか考えつきません。
学部や学科にもよりますが、大学で幾何学的解法を使った
記憶がありません。だって、こっちの方が簡単なんだもん。
図かかなくてイイし・・・

面倒な説明を受けて、「覚えろ、覚えろ」と言われるから、
みんな数学が嫌いになるんだよね。
だけど、一つ知っておくだけで、何にでも応用できるのが数学で、
とてもアリガタイ科目です。みんなが苦労して「覚えて」いる間、
こっちは遊んでられますから。因みに、私は数学の解法は知って
いますが、公式は殆ど知りません。
だから、キミにも数学を好きになって欲しい。

回答No.9

staratras

No.7の補足です。
四角形GBCFが平行四辺形になるのはGB=CFになるからです。
なぜならば、No.5の回答に挙げた理由で
⊿AGEと⊿FCBは相似になり相似比はEA:BC=EA:AD=1:2です。
したがってAG=1/2CF=FD だから　GB=CFです。

回答No.8

staratras

No.7の誤記を訂正します。

誤：Eを通ってGFに平行な直線を引きABとの交点をGとします。
正：Eを通ってBFに平行な直線を引きABとの交点をGとします。

回答No.7

staratras

もっと簡単な方法がありました。

Eを通ってGFに平行な直線を引きABとの交点をGとします。
⊿BFEの面積は⊿BFGの面積と同じです。
⊿BFGの面積は平行四辺形GBCFの面積の半分です。
平行四辺形GBCFの面積は大きな平行四辺形ABCDの2/3
(なぜならば、CF=2/3CD)だから
⊿BFGの面積＝48×2/3×1/2＝16（cm2）です。
したがって⊿BFEの面積も16（cm2）です。

回答No.6

SORA5495

全体的に見て1/4だから12です

回答No.5

staratras

さまざまなやり方があると思いますが、ひとつの考え方です。

Fを通ってBEに平行な直線を引き、BCと交わる点をGとします。
BEとGFは平行だから、⊿BFEの面積は⊿BGEの面積と等しくなります。
ここで⊿ABEと⊿CFGにおいて
ABとCF、BEとFG、EAとGCはすべて平行なのでこの２つの三角形の対応する３つの角は全て等しくなり、
⊿ABEと⊿CFGは相似で、その相似比はAB:CF=DC：CF=3:2です。
したがってGC=(2/3)EA=(2/3)(1/2)AD=(1/3)AD=(1/3)BCだからBG=(2/3）BCです。

ここで⊿BCEの面積は平行四辺形ABCDの1/2だから48×1/2＝24(cm2)
⊿BGEの面積は⊿BCEの面積の2/3だから24×2/3＝16(cm2）
⊿BFEの面積も16(cm2）

回答No.4

okok456

失礼しました。
48-12-16-4＝16c㎡

回答No.3

okok456

平行四辺形ABCDですね。
Higurashi777さんと同じ考えです。
三角形ABE、BCF、DEF　の面積の合計を平行四辺形ABCDの面積から引けば、三角形BFEの面積ですね。
添付図左　
ABEの面積は平行四辺形ABCDの1/4ですから 12c㎡
添付図右下
BCFは行四辺形ABCDの2/3の平行四辺形の1/2の面積ですから
　2/3x1/2= 2/6 =1/3 48x1/3=16c㎡
添付図右上
DEFは平行四辺形ABCDの1/3の平行四辺形の1/4ですから
　1/3ｘ1/4＝1/12　　　48x1/12=4c㎡

三角形BFEの面積は
48-12-16-4＝164c㎡

回答No.2

Higurashi777

平行四辺形ABCDが48cm（以下平方記号略）であるということは、三角形ABDの面積＝三角形BCDの面積=24cmですよね。
で、点FはCDを2:1に分けた点ですから、三角形BCFの面積は2/3ｘ三角形BCDになります。すなわち24*2/3＝16cm。
同様に、三角形ABEの面積は1/2ｘ三角形ABDで12cm。
三角形DEFは辺DEが1／2AD,辺DFが1/3CDですから、平行四辺形ABCDの1/12になります。
（辺BCの中点をGとして補助線EGを引き、辺ABを2:1になるように点Hを取り補助線FHを引くとわかりやすいかと）
すなわち、三角形BEFの面積は
平行四辺形ABCDー三角形ABEー三角形BCFー三角形DEFですから
48-16-12-4=16cm
になります。

以上、ご参考まで。

回答No.1

asuncion

四角形ABCDは平行四辺形で、
EはADの中点だから、
AE = DE = ①, BC = ②とおける。
また、CF : FD = 2 : 1だから、
CF = 比の2, FD = 比の1, AB = 比の3とおける。
平行四辺形ABCD = ② * 比の3 = □6 = 48cm^2
より、□1 = 8cm^2
△ABE = ① * 比の3 * (1/2) = □(3/2) = 12cm^2
△DEF = ① * 比の1 * (1/2) = □(1/2) = 4cm^2
△BCF = ② * 比の2 * (1/2) = □(2) = 16cm^2
だから、
△BFE = 48 - (12 + 4 + 16) = 16cm^2