ガロア拡大

質問

体Kの単純代数拡大体　Ｌ＝Ｋ(γ)
f(x)：元γのＫ上の最小多項式
n=deg(f)
G=Gal(L/K)
M=L^{G}(固定体)
g(x)=Π(x-σ(γ)) σ∈Ｇ

の時、g(x)∈M[x]を示して、[L:M]=|G|
を示したいです。
g(x)∈M[x]であることとはつまり、
σ(γ)∈M(=L^{G})
であることを示せばいいと思うのですが
σはK上同型写像でありますが、γはＫ上にないので
σ(γ)=γ
であることをいえません。どのように示せばよいのでしょうか？

回答No.3

koko_u_ · ベストアンサー

>すみません。各σ(γ)は M の元とは限らなくて、対称式はMの元になる違いがわかりません。
ということは、体の拡大がまったくわかっていないということです。
Galois 拡大のそもそもの動機は有理数体の代数的拡大なので、その辺の例を踏まえてもう少し考えましょう。

お礼

すみません。わかりました。
もうすこし、自分で勉強したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

>ただ、σ(γ) の対称式がMに含まれるということは
>任意のσ(γ)がMに含まれることを示せばいいのではないのでしょうか？

まったく違う。各σ(γ)は M の元とは限らない。しかしその対称式は M の元。

補足

すみません。各σ(γ)は M の元とは限らなくて、対称式はMの元になる違いがわかりません。

対称式がMの元ということは
ξ(σ(γ)+τ(γ))=σ(γ)+τ(γ) ：ξ∈Ｇ
ということになると思うのですが・・・・教えてください。

回答No.1

koko_u_

>g(x)∈M[x]であることとはつまり、
>σ(γ)∈M(=L^{G})
>であることを示せばいいと思うのですが

違います。g(x) の係数が M に含まれればよいだけです。係数は σ(γ) の対称式ですね。

補足

確かに、係数がσ(γ) の対称式になることは確認できました。
ありがとうございました。
ただ、σ(γ) の対称式がMに含まれるということは
任意のσ(γ)がMに含まれることを示せばいいのではないのでしょうか？