ガロア拡大体

質問

α = (1+i ) /√2 とおき、ただし，i = √－1 とします。Q(α) は Q 上のガロア拡大体です。
群 Gal(Q(α)/ Q) の構造とQ ⊆ M ⊆ Q(α) をみたす体 M の求め方がわからないです....

Q(α) = {c_1+c_2α+c_2α^2+c_3α^3 | c_1, c_2, c_3.c_4 ∈ Q}
こうやって解いていくのはどうかなと思って
やってみたのですが、なかなかうまく行きませんでした(><)

回答No.2

tmppassenger

> σ[2] (a[1]) = a[3], つまり σ[2] (a) = a^3 とするなら、
σ[2] (a[1]) = a[2], つまり σ[2] (a) = a^3 とするなら、でしたね。

回答No.1

tmppassenger

αをa, Q(a)をLと以下書くことにして、取り敢えず Gal(L/K)を求めることから始めましょうか。

先ず、aの最小多項式は f(X) = X^4 + 1で、f(X)の根は a, a^3, -a (=a^5), -a^3 (=a^7)である事はいいですか？今、これらをa[1], a[2], a[3], a[4] と起きます。で、LのK上の自己同型σを取ると、a[1], a[2], a[3], a[4] の対称式はKの元で、これはσによって動かないから、σ(a[1]), σ(a[2]), σ(a[3]), σ(a[4]))は（根と係数の関係によって）再びf(X)の根全体となる。

何が言いたいかというと、LのK上の自己同型σによって、f(X)の根 a = a[1] は、σによって a[1], a[2], a[3], a[4] の何れかに移るわけです。よって、LのK上の自己同型は最大で4つしかない訳です。
一方で、L/QがGalois拡大と既に分かっていて、L/Qの拡大次数は4なので、LのK上の自己同型も4つある。よって、LのK上の自己同型σは、a[1]が a[1], a[2], a[3], a[4] のどれに移るかで決定される、という訳です。

よって、今Gal(L, K) = { σ[1], σ[2], σ[3], σ[4] } とでも仮においておきます。例えば σ[1](a[1]) = a[1]とするなら、σ[1]は恒等写像となります。 σ[2] (a[1]) = a[3], つまり σ[2] (a) = a^3 とするなら、σ[2](a^3) = (σ[2}(a))(σ[2}(a))(σ[2}(a)) = (a^3)(a^3)(a^3) = a^9 = a みたいな感じで計算できます。
これを元に、Gal(L,K)の元によって、f(X)の根がどう動くかが計算できます。後は、Gal(L,K)の元を合成すれば、元の演算表が計算できるので、Gal(L,K)の構造が計算できるはずです。