早稲田商学部 2019 数学

質問

以下の写真の問題の解法が赤本の解答を見たのですがよくわかりませんでした。
教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

> 質問なのですが、(方針)のところは知識として覚えておくべきものなのでしょうか？

もし与えられた問題が f(x) = x なら、という類題を想像してこの解法を考えました。
知識として覚えている人もいるのかもしれませんが、知識として覚え出すときりがないと思います。
関数や方程式の問題を解いたこれまでの経験、そこから別の問題へつなげていく想像力が問われるのではないかと思っています。

お礼

ありがとうございます！
このタイプの問題に初めて出会ったので、これを類題に活かせるように暗記しようと思います！

回答No.3

gamma1854

「不動点」のことは書いてあると思います。
f(x)=x をみたす点ｘは不動点です。(ｆにより変換しても変わらない点)

回答No.2

gamma1854

f(f(x))=x ⇔ (x^2-x+a)(x^2+ax+a+1)＝０
と分解できることを利用してください。

補足

ありがとうございます！
そのような因数分解をうまく見つけることができなかったのですが、そこは経験なのでしょうか…？

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

方針
もし、x の二次方程式「 f(x) = x 」 が実数解 x = t をもっていたら…
f(t) = t なので
f ( f(t) ) = f( t ) = t
となり、与えられた方程式の解にもなります。
ということは
f(x) - x が x - t を因数にもてば、
f(f(x)) - x も x - t を因数にもちそうです。
ということは
f(f(x)) - x という4次式は
f(x) - x という2次式で割り切れそうです。

（解）
f(f(x)) - x = f(x^2 + a) - x
= (x^2 + a)^2 + a - x
= x^4 + 2ax^2 - x + (a^2 + a)
この4次式を
f(x) - x = x^2 - x + a
で割ると
商は x^2 + x + (a + 1) 余り0 である。
g(x) = x^2 - x + a , h(x) = x^2 + x + a + 1
とおくと
g(x) h(x) = 0
と因数分解される。よって
① g(x) = 0 が異なる２つの実数解をもち、h(x) = 0 が虚数解をもつ
② g(x) = 0 が虚数解をもち、h(x) = 0 が異なる２つの実数解をもつ
③ g(x) = 0 , h(x) = 0 がいずれも実数解をもち、その解が重複している
のいずれかである。

①のとき
g(x) = 0 の判別式 D1 は D1 = 1 - 4a
h(x) = 0 の判別式 D2 は D2 = -3 - 4a
D1 > 0 かつ D2 < 0 を解くと
-3/4 < a < 1/4
②のとき
D1 < 0 かつ D2 > 0 をみたすaはない
③のとき
g(x) = 0 と h(x) = 0 が実数の共通解 x =
u をもつとすると
u^2 - u + a = 0 , u^2 + u + a + 1 = 0
この２つの式の差をとると u = -1/2
-1/2を解にもつとき a = -3/4
このとき
g(x) = 0 の解は x = -1/2 , 3/2
h(x) = 0 の解は x = -1/2（重解）
よって与えられた4次方程式の実数解は2個であり題意をみたす。

以上より
-3/4 ≦ a < 1/4

補足

理解できました！
本当にありがとうございます！
質問なのですが、(方針)のところは知識として覚えておくべきものなのでしょうか？