早大プレ 2022 数学

質問

以下の写真の問題の(2)について質問なのですが、写真の解法でも理論上は答えを求めることは可能ですか？

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

ノート上半分の方法だと「理論上は可能であるが、実際の計算は困難で試験時間内には間に合わない」というのが結論です。

ノート下半分のアプローチは間違っています。
ノート上半分の方法で進めるには

f(x) をxで微分して
f’(x) = (3k^2 - 12) x^2 + (2k^2 + 4k - 16) x + (2k - 3)
3k^2 - 12 ≠ 0 のとき、x の二次方程式 f’(x) = 0 の判別式をDとすると
D/4 = (k^2 + 2k - 8)^2 - (3k^2 - 12) (2k - 3)
この値が0より大か小か0に等しいかで分類して、D ≦ 0 のときは f(x) は単調増加であり、f(x) = 0 の実数解は1個
D > 0 のとき、f’(x) = 0 の異なる2個の実数解をα、βとおいて f(α) * f(β) の符号を考えると…
（このあたりで、筆算では無理になります。さらに、3k^2 - 12 = 0 のときを別途考える必要があります）

すでに解答は配布されているかと思いますが、この問題はf(x) という三次式を直接微分するのではなく、f(-1) = 0 に注目して
f(x) = (x + 1) { (k^2 - 4) x^2 + (2k - 4) x + 1 }
と因数分解することから始めていかないと、試験時間内には解けません。

お礼

ご丁寧にありがとうございます！
理解できました！

回答No.3

gamma1854

(k^2≠4 のときの話です)
できるでしょうが、係数が少し複雑で短時間での処理がやや面倒かと思います。
ここでは、
f(x) = (x+1){(k^2-4)x^2+2(k-2)x+1}
を利用すべきでしょう。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

asuncion

kは実数なので、±2という値をとれますよね。
このときf(x)は3次関数じゃなくなってしまいますが、
さてどうしましょうか？

お礼

そこの議論も必要ですね…
ありがとうございます！