ベクトル解析学の問題でわからない所があります。

質問

ユークリッド空間において、z軸上に辺ABを持つ正三角形ABCがあります。1辺の長さは1です。頂点Cを中心としこの三角形を含む半径1の円板を考えます。それをz軸と軸として回転すると扁平なリンゴ型の立体ができます。

この立体の表面積の値を求めてください。という問題でテキストの解答に「5√3/3・π^2+2π」、解説にはトーラスとしては表面の一部がリンゴの内部に入り込んでいるので、この部分は表面積から除かなければなりません。またパラメーターsの動く範囲は
-5π/6≦s≦5π/6です。と書かれていますが、どのように求めるのか計算過程がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

頂点Cを中心とする半径1の円の半径の傾き角をsとすると
z軸のC側にある円周上の点では
-5π/6≦s≦5π/6
と変化する
z軸からの距離(z軸中心回転半径)は
r(s)={(√3)/2}+cos(s)
だから回転して出来る円周長は
f(s)=2πr(s)
f(s)=2π[{(√3)/2}+cos(s)]
だからこれを-5π/6≦s≦5π/6の範囲で積分すれば表面積が求まる
∫_{-5π/6～5π/6}f(s)ds
=∫_{-5π/6～5π/6}2πr(s)ds
=∫_{-5π/6～5π/6}2π[{(√3)/2}+cos(s)]ds
=2π∫_{-5π/6～5π/6}[{(√3)/2}+cos(s)]ds
=4π∫_{0～5π/6}[{(√3)/2}+cos(s)]ds
=4π[{(s√3)/2}+sin(s)]_{0～5π/6}
=[{5(π^2)√3}/3]+2π