ベクトル解析の問題

質問

質問させていただきます

（１）r↑=xi↑＋yj↑＋zk↑とするとき、次のベクトル場の発散を求めよ。

A↑=r/r^3

（２）次のベクトル場の回転を求めよ

A↑=-yi↑＋xj↑

この問題なのですが

解答には

（１）
Ax=x/r^3 ∂r/∂x=x/r

∂Ax/∂x=1/r^3-3x/r^4*∂r/∂x=1/r^3-3x^2/r^5

同様に∂Ay/∂y=1/r^3-3y^2/r^5
∂Az/∂z=1/r^3-3y^2/r^5

よって

divA↑=0

（２）

rotA↑=｛M[∂/∂y,∂/∂z], M[x,0]｝i↑＋｛M[∂/∂z,∂/∂x], M[0,-y]｝j↑＋｛M[∂/∂ｘ,∂/∂ｙ], M[ーｙ,０]｝k↑
=2k↑

（１）の∂r/∂x=x/rや
∂Ax/∂x=1/r^3-3x/r^4*∂r/∂x=1/r^3-3x^2/r^5

（２）のrotA↑が2kになるのはなぜなのでしょうか？

計算の仕方が分かりません

どなたか教えてください

回答No.1

rnakamra

単に計算あるのみ。

(1)
∂Ax/∂x=(∂/∂x)(x/r^3)=1/r+x(∂/∂x)(1/r^3)=1/r+x(∂/∂x)(1/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))
この微分を計算するだけです。xについての偏微分ですのでy,zは定数と考えて良い。

(2)
rotA↑=∇×A↑=(∂Az/∂y-∂Ay/∂z)i↑+(∂Ax/∂z-∂Az/∂x)j↑+(∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)k↑
これにAx=-y,Ay=x,Az=0を入れて計算するだけです。
偏微分は∂Ax/∂yと∂Ay/∂x以外は全てゼロになるので簡単です。