不定積分1/(x^2-4)

質問

不定積分1/(x^2-4)

1/(x^2-4)の積分なのですが部分分数に分けて積分すればすぐに求まり(1/4)log[(x-2)/(x+2)]ですが1/xの積分がlog[x]であることを用いて(1/2x)log[x^2-4]としてはいけないのでしょうか？微分すると元の形に戻りますが…フリーソフトでグラフを書くと形は似ていますが少し違うグラフになります。

なぜいけないのでしょうか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

積分は微分の逆で、微分公式が適用できる形に被積分関数を分解して積分するのが
本来の積分法です。
なので積分の基礎は微分法の公式です。積分結果を微分して被積分関数にならない積分は間違いだということをしっかり頭に記憶して置いてください。

その上で、合成関数の微分法（微分公式）を再度確認して下さい。
合成関数の微分法に基づいた合成関数の積分法を使わない積分は正しい積分結果が得られません。

合成関数の微分公式
{f(g(x))}'=f'(g(x))*g'(x)
合成関数の積分公式
∫g'(x)f'(g(x))dx=f(g(x)) +C　…（★）

なので f(x)=1/xの積分が∫1/xdx=log|x|+C であっても
f(g(x))=1/(x^2-4),g(x)=x^2-4の積分は g'(x)=2xなので
（★）の公式から
∫2x*1/(x^2-4)dx=log|x^2-4| +C
この両辺を「g'(x)=2x」では割れませんね。

>1/xの積分がlog[x]であることを用いて(1/2x)log[x^2-4]としてはいけないのでしょうか？
これはまさに割ってはいけない「g'(x)」で割っているのです。
積分法を理解していない人の間違った操作であることがお分かりになりませんか？

部分分数に分解して積分すれば、合成関数の積分公式を適用しませんので問題なし、
つまり
敢えて適用してもg'(x)=定数となるので、積分の両辺を定数で割っても積分の式は成立しますね。

合成関数の微分法を今一度復習し、今回のようなg'(x)が定数でない場合の合成関数については積分法を誤らないように合成関数の積分法を正しく使用できるようにしてください。

例
∫(2x)/(x^2-4)dx=log|x^2-4| +C
被積分関数の分子に分母の微分があれば ∫1/xdx=log|x|+C　が使えます。

g'(x)の項が分子に無い場合は　この公式∫1/xdx=log|x|+C　は直接使えません。

∫1/(x^2-4)dx=(1/4)∫{1/(x-2) -1/(x+2)}dx
と部分分数展開してからであれば　公式∫1/xdx=log|x|+C　が使えます。

確実に覚えましょう。

回答No.2

alice_44

その答えになったってことは、途中で、
∫｛ 1/(x↑2 - 1) ｝dx
= ∫｛ 1/(2x) ｝｛ 2x/(x↑2 - 1) ｝dx
= ｛ 1/(2x) ｝∫｛ 2x/(x↑2 - 1) ｝dx
と、してしまいましたね。
1/(2x) は、x に依存しますから、
∫～dx の外へ括り出すことは、できません。
グラフが似ているとしたら、単なる偶然です。

回答No.1

f272

> 微分すると元の形に戻りますが…

どうして？