複素数平面の問題です

質問

|Z|＝１を満たす複素数がある。
このとき、|1+Z|+|1-Z|の最大値と、その時のZを求めよ。

という問題なんですが、図形を使って解けそうな解けなさそうな・・・
解法の糸口、教えてほしいんです。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#24477 · ベストアンサー

図形的にということなので

原点を中心として半径１の円周上をＺが動くとき

－１とＺとの距離と１とＺとの距離の和が最大になる
ときその最大値とＺを求めなさい。

結構よくある問題になると思います。

三角形の角をθと置いたりしますね。

回答No.6

kuma

＃１のものです。

|1+Z|と|1-Z|はそれぞれベクトルの大きさを表しています。

ベクトルの大きさということは、原点からの距離を考えれば良いのでは？
ということは、単位円を+1、-1ずらした円周上の原点からの距離の和と考えれば良いと言うことになりませんか？
ここで図を書いてみれば、解けるとおもいます。

がんばってください。

回答No.5

mmky

ヒントは出ていますが、ヒント屋の前に少し立ち止まる程度で
|Z|＝１　は半径１の円を表現しているので、
｜Z｜=|e^iθ|=|cosθ+isinθ|=1
|1+Z|=|1+cosθ+isinθ|=√(2+2cosθ)
|1-Z|=|1-cosθ-isinθ|=√(2-2cosθ)
√(2+2cosθ)+√(2-2cosθ)　が最大になるθ=θm を求め、それから、e^iθm =Z とすれば良い。
θで微分してみると,
d{√(2+2cosθ)+√(2-2cosθ)}/dθ=0
→sinθ=0, θ=θm=0, π, →Z=±1

註：図上で考える場合、虚数単位(i)は直行しているという程度に解釈しておけば良い。

回答No.3

nabla

この問題なら計算で処理した方が楽でしょう。
|Z|＝１であることから
Z＝cosθ＋isinθ
と置いてみましょう。

回答No.2

tottomo

絶対値の問題なので２乗してみるっていうのはどうでしょう？
|Z|の2乗＝Zの2乗＝Z×Zのバー(なんて言うんでしたっけ(^_^;))＝1
になるんじゃなかったでしょうか・・・
|1+Z|+|1-Z|も、プラスとマイナスが違うだけですし・・・
最大値の問題なので、2次関数の形に持っていけたりしないですかねぇ・・・？

前から複素数苦手なんで曖昧ですみません(*_*)

回答No.1

kuma

図形的に考えるのであれば、
|Z|=1は、半径１の単位円ですね。
次に|1+Z|と|1-Z|は、
単位円をどう動かしたものでしょうか？

この二つの図形を考えて、答えを導きだすのは
どうでしょうか。

補足

実軸方向にプラマイ１、平行移動し円になることはわかるんですが・・・
その和の最大値、またそのときのZの値というところが、
何をヒントにすればいいのか・・・