数三積分

質問

数三積分の入試問題です。
どなたか丁寧な説明をしてくださると幸いです。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
積分区間の上端が切れていますが π/2 でしょう。
C(n+2) = ∫(0→π/2) (cos x)^(n+1) cos x dx
= ∫(0→π/2) (cos x)^(n+1) (sin x)’ dx
= [ (cos x)^(n+1) sin x ](0→π/2) - ∫(0→π/2) (n+1)(cos x)^n (-sin x)・(sin x) dx
= (0 - 0) + (n+1)∫(0→π/2) (cos x)^n (sin x)^2 dx
= (n+1) ∫(0→π/2) (cos x)^n { 1 - (cos x)^2 } dx
= (n+1) ∫(0→π/2) { (cos x)^n - (cos x)^(n+2) } dx
= (n+1) { C(n) - C(n+2) }
よって
C(n+2) = (n+1) C(n) - (n+1) C(n+2)
移項、変形して
C(n+2) = { (n+1) / (n+2) } C(n)
※被積分関数を (sin x)^n にしても同じ関係式が成立し、いずれもよく用いられる式です。

(2)
与えられた立体を平面 x=t で切ったときの断面を考える。
t^2 + y^2 ≦ 1 かつ y ≧ 0 より
0 ≦ y ≦ √(1 - t^2) …①
z + 2t^2 - t^4 ≦ 1 かつ z ≧ 0 より
0 ≦ z ≦ (1 - t^2)^2 …②
x=t かつ ① かつ ② が表す領域が存在するのは t^2 ≦ 1 のときであり、これと t ≧ 0 より、tの範囲は 0 ≦ t ≦ 1 である。
このとき x=t かつ ① かつ ② は面積
√(1 - t^2) * (1 - t^2)^2 = (1 - t^2)^(5/2)
の長方形を表す。求める体積 V は
V = ∫(0→1) (1 - t^2)^(5/2) dt
で表される。t = sin x (0 ≦ x ≦ π/2) と置き換えて
V = ∫(0→π/2) (cos x)^5 (sin x)’ dx
= ∫(0→π/2) (cos x)^6 dx
= C(6)
= (5/6) C(4)
= (5/6) * (3/4) * C(2)
= (5/6) * (3/4) * (1/2) * C(0)
= (5/6) * (3/4) * (1/2) * (π/2)
= (5/32) π …答

お礼

ありがとうございました！