積分の導出

質問

以下の積分です。
xについての積分です。
a^2/(x^2+a^2) 区間-∞～+∞　

物理の問題をやってる途中にこれでつまずきました。
答えが1になると嬉しいですね。
明日の朝大学へ行けばいいんですが、今夜気になって寝れそうにありません。教えていただけると幸いです。

回答No.4

kurobe3463 · ベストアンサー

この積分は数学III の教科書の「定積分」の計算に出てきます．定積分ですから arctan を使わずに数値解が計算されます．
最後まで原始関数を求める手順は次の通り．

a^2/(x^2+a^2)
の積分は
x = a・tan(θ)
とおくと
dx = (a/cos(θ)^2) dθ
となるから

∫a^2/(x^2+a^2) dx
＝∫ a^2/(a^2・tan(θ)^2+a^2) (a/cos(θ)^2) dθ
＝∫1/(tan(θ)^2+1) (a/cos(θ)^2) dθ

tan(θ)^2+1＝1/cos(θ)^2　（数学Iの公式）
より
1/(tan(θ)^2+1)＝cos(θ)^2

だから約分して
＝∫1/(tan(θ)^2+1) (a/cos(θ)^2) dθ
＝∫a dθ
＝a∫1 dθ
＝aθ

定積分を求める高校の教科書ではここに積分範囲を代入して答えになる．

a・tan(θ)=x より tan(θ)=x/a
つまり　θ　は tangent の逆関数 arctan をつかって
θ＝arctan(x/a)

したがって求める原始関数は，
a・arctan(x/a)
となります．

お礼

ご解答ありがとうございます。
数(3)でやってたのか・・・
精進します。

回答No.3

mmky

参考程度に
１にはなりませんね。πaでしょうかね。

Ia=∫[-r ～r]a^2/(x^2+a^2)dx+∫[C}a^2/(z^2+a^2)dz
C 内の極αは、α=ae^iπ/2=ia
留数 Res[f,α]=lim [a^2(z-α)/(z^2+a^2)]=lim [a^2(z-α)’/(z^2+a^2)’]
=lim [a^2/2z]=[a^2/2α]=a/2i
Ia=2πi*a/2i=πa
r→∞, [C][a^2/(z^2+a^2)]→0
I=Ia=∫[-∞ ～∞]a^2/(x^2+a^2)dx=πa
そんな感じですね。

お礼

ありがとうございます。

留数を計算したりしてやる方法もあるのですね～
大変参考になります。

回答No.2

yaksa

x^2+a^2 = (x+ai)(x-ai)
と因数分解して部分分数分解するか（面倒）、
あるいは、x=a*tan(t) と変数変換するか（簡単）。

答えは、π|a| だと思いますが。

(tan(x))' = 1+tan^2(x)
(arctan(x))' = 1/(1+x^2)
は覚えていても損はないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

肝に銘じておきます。

回答No.1

kurobe3463

これの原始関数は
arctan ・・・ tangent の逆関数
じゃないかな．

たぶん a・arctan(x/a)

tangent の逆関数は tangent を横にしたような形（正確には y=x について対称）で，原点について対称なグラフ．
ということは -p から p までの積分はいつも 0．
したがって p →∞ の極限も 0　かな．

お礼

回答ありがとうございます。

こういう問題がさらっとできるように精進します。