積分

質問

積分の問題です。計算と説明をお願いします

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

まず分母だけに注目して部分分数分解します。

1 / (xxxx - 81) = { 1 / (xx - 9) - 1 / (xx + 9) } * (1 / 18) …①
さらに
1 / (xx - 9) = { 1 / (x - 3) - 1 / (x + 3) } * (1 / 6) …②
②を①に代入して
1 / (xxxx - 81) = (1 / 108) { 1 / (x - 3) - 1 / (x + 3) } - (1 / 18) { 1 / (xx + 9) }
27倍して
27 / (xxxx - 81) = (1/4) { 1 / (x - 3) - 1 / (x + 3) } - (3 / 2) { 1 / (xx + 9) } …④

次に、①を 27x 倍して
27x / (xxxx - 81) = (3x / 2) * { 1 / (xx - 9) - 1 / (xx + 9) }
= (3 / 4) * { 2x / (xx - 9) - 2x / (xx + 9) } …⑤

④＋⑤を0から√3の範囲で積分したものが答となります。

∫(0→√3) { 1 / (x - 3) - 1 / (x + 3) } dx
= [ log | (x - 3) / (x + 3) | ] (0→√3)
= log { (3 - √3) / (3 + √3) } - log 1
= log { (√3 - 1) / (√3 + 1) } - 0
= log (2 - √3)

∫(0→√3) { 1 / (xx + 9) } dx
（x = 3 tan tと置換）
= ∫(0→π/6) { 1 / (9(tant)^2 + 9 } { 3 / (cost)^2 } dt
= (1 / 3) ∫(0→π/6) 1 dt
= (1/3) (π/6)
= π/18

∫(0→√3) { 2x / (xx - 9) } dx
= ∫(0→√3) log | xx - 9 | dx
= log 6 - log 9
= log (2/3)

∫(0→√3) { 2x / (xx + 9) } dx
= ∫(0→√3) log | xx + 9 | dx
= log 12 - log 9
= log (4/3)

以上より、求める定積分の値は
(1/4) log(2-√3) - (3/2) (π/18) + (3/4) { log (2/3) - log(4/3) }
= (1/4) log(2-√3) - π/12 + (3/4) log (1/2)
= (1/4) log(2-√3) - π/12 - (3/4) log2
= (1/4) { log(2-√3) - 3 log2 } - π/12
= (1/4) log { (2-√3) / 8 } - π/12 …答