積分で答えが違って出てきます

質問

∫(-π/4→π/2)(cosx)^6dx
という問題なんですが、∫(0→π/2)(cosx)^6dx+∫(0→π/4)(cosx)^6dxというやり方で∫(0→π/2)(sinθ)^n dθの公式を使い15π/64だと思うのですが問題の解答が　15π/64+11/48　となっています。
どうしてでしょうか？お願いします。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

#1,2です。

#1・#2への補足について。
＞5/6*3/4*1/2*π/2/2というふうにしました。
これを見る限り、積分の範囲の幅が1/2だから、
∫(0→π/4)(cosx)^6dx＝{∫(0→π/2)(cosx)^6dx}/2
とした、という感じですかね。(違ったら補足してください)

例えば、∫(0→1)xdx＝1/2、∫(0→2)x＝2
というのを見れば、そういう変形は正しくない、というのが分かると思います。

＞{(cosx)^3}^2で計算したら合いました。
３倍角の公式を使ったんですかね？
そういう解き方もあったんですね。その解き方で問題ないです。

既にhometeacherさん自身で解き方を見つけていらっしゃるようですが、一応、私なりの解き方を書いておきます。(と、言っても#3さんが書いていらっしゃるような解き方ですが)

基本的には、∫(0→π/2)(sinθ)^n dθの公式の導き方と同じです。(この後の都合上、積分の範囲をα→βとしますがとりあえず、α=0、β＝π/4と思って下さい。)

I_n=∫(α→β)(cosx)^ndxとおきます。I_n=∫(α→β)(cosx)^(n-1)*cosxdxを部分積分して、いろいろ計算し、α=0,β=π/4を代入すると、最終的には
I_n={(n-1)/n}I_(n-2)+{(1/√2)^n}/n
となります。あとは、この式を次々に使い、
I_6=…と変形していくとI_6＝5π/6+11/48となるはずです。(I_0=π/4)

さて、α=-π/4,β=π/2としても、同じように計算すれば、I_6を求める事ができます。しかも、I_6が求めるものですね。
この方法で計算していないので断言はできませんが、おそらく、上に書いた物と計算の手間は変わらないと思います。ですので、この方針で解くのなら、∫(0→π/2)(cosx)^6dx+∫(0→π/4)(cosx)^6dxとはせず、直接∫(-π/4→π/2)(cosx)^6dxを求めた方が楽かもしれませんね。(まぁ、∫(0→π/2)(cosx)^6dの計算の手間だけの差なので、大して変わりませんが)

お礼

やっと理解できました。たいへん分かりやすく教えていただいてありがとうございました。

回答No.3

mmky

参考程度に
eatern27さんの指摘は、
∫(0→π/2)(cosx)^6dx=(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)=5π/32
で15π/64にはならないということです。
∫(0→π/4)(cosx)^6dx　は、
Im=∫cos^mxdx=∫cos^(m-1)x*cosxdx
漸近式 m≧2
Im=[1/m][sinx*cos^(m-1)x + (m-1)Im-2]
から計算する必要があるということですね。
双方の和が15π/64+11/48　になりますね。

お礼

Im=[1/m][sinx*cos^(m-1)x + (m-1)Im-2]の方法を知りませんでした。ありがとうございました。

回答No.2

eatern27

#1です。

∫(0→π/2)(sinθ)^n dθの公式を使って、∫(0→π/2)(cosx)^6dxを計算すると、15π/64になるのかと思ったので、#1のように書いたのですが、違いますね。すいません。

＞どうしてでしょうか？お願いします。
どのように計算したのか分かりませんので、答えられませんが、∫(0→π/4)(cosx)^6dxはどうやって計算したのですか？

もし、∫(0→π/2)(sinθ)^n dθの公式を使ったのなら、それが間違いです。

なお、私の計算では、15π/64+11/48になりました。

補足

回答ありがとうございます。5/6*3/4*1/2*π/2/2というふうにしました。、∫(0→π/4)(cosx)^6dxはどのようにすればよいのですか？

回答No.1

eatern27

+∫(0→π/4)(cosx)^6dx

の計算はしたんですか？

補足

{(cosx)^3}^2で計算したら合いました。
∫(0→π/4)(cosx)^6dxでは∫(0→π/2)(sinθ)^n dθの公式は利用できないのですか?公式の利用法があやふやですいません。授業をうけたこともなく独学でやっております。