この積分がどうしてもわかりません

質問

∫tan^4 x dx
tan^2x=1/cos^2x-1とおいたり、いろいろ試しましたがわかりません。
∫x/(1-cosx)dx
半角の公式など使いましたが、わかりません。
ヒントだけ、とかはできればやめてください。
もう十分悩みましたので…
よろしくお願いします…

回答No.4

R_Earl · ベストアンサー

> ∫x/(1-cosx)dx

こっちを忘れていました。
∫x / (1 - cos x)dx
= ∫x { 1 / (1 - cos x) }dx

と見なし、部分積分すれば解けそうです。
微分する側はxで、積分する側は{ 1 / (1 - cos x) }とします。
∫{ 1 / (1 - cos x) }dx
= ∫{ (1 + cos x) / (1 - cos^2 x) }
= ∫{ (1 + cos x) / (sin^2 x) }
= ∫{ 1 / ( sin^2 x ) }dx + ∫{ cos x / ( sin^2 x ) }dx
∫{ 1 / ( sin^2 x ) }dx = (-1 / tan x) + C　（-1 / tanxの微分結果から）
∫{ cos x / ( sin^2 x ) }dx = (-1 / sin x) + C　（置換積分）
なので、
∫{ 1 / (1 - cos x) }dx = (-1 / tan x) - (1 / sin x) + C

よって ∫x { 1 / (1 - cos x) }dxの部分積分は

∫x { 1 / (1 - cos x) }dx
= x{(-1 / tan x) - (1 / sin x)} - ∫{ (-1 / tan x) - (1 / sin x) }dx

となるはずです(計算ミスが無ければ)。
1 / tan xの積分や、1 / sin xの積分方法は大丈夫でしょうか？

お礼

ありがとうございます。
∫1/sin^2xdxでつまづいていたのですが、普通に教科書に載っている公式だったんですね…
積分は入り組んでくると簡単なところで溝にはまってしまいます…
おかげですっきりしました！
1/tanx,1/sinxの積分は大丈夫です。
親切にありがとうございました。

回答No.3

R_Earl

∫tan^4 x dx
= ∫(tan^2 x)(tan^2 x) dx
= ∫(tan^2 x){ (1 / cos^2 x) - 1 } dx
= { ∫(tan^2 x)(1 / cos^2 x) dx } - { ∫(tan^2 x) dx }

∫(tan^2 x)(1 / cos^2 x) dxの不定積分は、
tan x = tとおくとdt/dx = (1 / cos^2 x)なので
∫(tan^2 x)(1 / cos^2 x) dx
= ∫(t^2)(dt/dx) dx
= (1/3)t^3 + C_1
= (1/3)(tan x)^3 + C_1

∫(tan^2 x) dxの不定積分は、
∫(tan^2 x) dx
= ∫{ (1 / cos^2 x) - 1 } dx
= (tan x) - x + C_2

よって
{ ∫(tan^2 x)(1 / cos^2 x) dx } - { ∫(tan^2 x) dx }
= (1/3)(tan x)^3 - (tan x) + x + C

お礼

ご回答ありがとうございます。
こんな簡単な変形(tan^2x=1/cos^2x-1とおいた後の)に気づかなかったなんて…
自分が馬鹿でした。

∫x/(1-cosx)dxの方もお願いします。

回答No.2

Ae610

tanx=tと置く
(1+(tan^2x))dx=(1+t^2)dx=dt よってdx=dt/(1+t^2)
故に
∫tan^4 x dx
=∫t^4/(1+t^2)dt
=∫(t^2-1)dt+∫dt/(1+t^2)
=t^3/3-t+x
=tan^3x/3-tanx+x+C (Cは定数)

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

nious

∫tan^4(x)dx=∫sin^4(x)/cos^4(x)dx、tan(x)=tとおくと、
dx=cos^2(x)dt、sin^2(x)=t^2/(1+t^2)より、
∫t^4/(1+t^2)dt=∫t^2-1+{1/(1+t^2)}dt
=(t^3/3)-t+arctan(t)+C=(tan^3(x)/3)-tan(x)+x+C

お礼

こんなに早く回答が来て驚きました。
ご回答ありがとうございます。
ただ、アークタンジェントはまだ習ってないんです。
あとで自分で計算してみます。