定積分について

質問

定積分について

問題：∫(cosx)^6dx 　積分区間は0→2πです。
(cosx)^2が(1-sin^2x)であることなどを利用したり、他の式変形もしてみたのですが、うまくいきませんでした。
方針はどういうものでしょうか？
分かる方、お力を貸してください。
宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

力ずくでいくなら, 倍角とか 3倍角とか積和とかを駆使して「三角関数の和」の形にする.
∫(cos x)^6dx = ∫(sin x)^6dx (積分範囲は 0～2π)
は「自明」としていいような気もするけどまあ示しておいた方が無難でしょうか. 被積分関数が周期的であることを使えば, 難しくないですよね?

お礼

３倍角を使って、その後積和と倍角を使ったら解けました。
大変面倒でしたが・・・
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

地道にばらしてもいいし,
∫(cos x)^6dx = ∫(sin x)^6dx (積分範囲は 0～2π)
を使うとちょっと簡単かもしれない.

お礼

解答ありがとうございます。
地道にばらすとは、どういう風にばらすんですか？
そこが分からなくて、つまずいてしまいました。
＞∫(cos x)^6dx = ∫(sin x)^6dx (積分範囲は 0～2π)を使うとちょっと簡単かもしれない.
とありますが、これは自明なこととして用いてもよいのでしょうか？