合成数の倍数の判定法

質問

与えられた数が、合成数の倍数かどうかを判断できないので質問します。
与えられた数、例）6060があって、2,3,4の倍数になっていると、この数は互いに素な２数の積6=2*3,12=3*4で割り切れて、互いに素でない２数の積8=2*4で割り切れないということがわかりません。図を描いてみて考えたのですが、2の倍数の円の中に４の倍数があり、4の倍数の円の中に8の倍数があり、なぜ４の倍数の中の８の倍数が外れるのかがわかりません。また2の倍数の円と３の倍数の円の重なった部分は６の倍数になるのはわかるのですが、2,3で割り切れたから、重なった部分があるとする理由がわかりません。また式で6060=2a,6060=4b (a,bは自然数)とおいても説明することができませんでした。
どなたか、与えられた数がいくつかの倍数であるとき、そのある数の倍数かのうち、互いに素な２数の積で与えられた数が割れることと、互いに素でない2数の積で割れないことを説明してください。よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

もっと簡単な例で調べてみましょうか。
例えば、24を考えます。
24は2, 3, 4の倍数になっていて、互いに素な2数の積6 = 2 * 3, 12 = 3 * 4で
割り切れて、互いに素でない2数の積8 = 2 * 4で...
あれ、割り切れちゃいますね。
24 = 2^3 * 3
6060 = 2^2 * 3 * 5 * 101
と素因数分解できますから、8で割れるかどうかは互いに素なとかはどうでもよくて
要するに2で3回割れればよいだけのことではないでしょうか。

お礼

反例の24、ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

>(例）与えられた数6060
>2,3,4の倍数になっていると、この数は互いに素な２数の積6=2*3,12=3*4で割り切れて、互いに素でない２数の積8=2*4で割り切れないということがわかりません。
　　　　↑
素因数分解すると 6060 = 2*2*3*5*101。
… なので、6060 を 8 で割ろうとすると、
　6060÷8 = (1/2)*3*5*101
となって、奇数を 2 では割り切れません。

>図を描いてみて考えたのですが、2の倍数の円の中に４の倍数があり、4の倍数の円の中に8の倍数があり、なぜ４の倍数の中の８の倍数が外れるのかがわかりません。
単に、2 と 4 で割り切れる数が 8 で割り切れるとは限らない、ということ。
(4 で割り切れる数が 2 で割り切れるのは、当たり前)

>また2の倍数の円と３の倍数の円の重なった部分は６の倍数になるのはわかるのですが、2,3で割り切れたから、重なった部分があるとする理由がわかりません。
　　　　↑
2 で割り切れる数のセットと、3 で割り切れる数のセットには「重なる部分 (共通集合) 」がある … という話らしい。
それは、6 = 2*3 で割り切れる数のセット、ですネ。

>また式で6060=2a,6060=4b (a,bは自然数)とおいても説明することができませんでした。
　　　↑
どういうクレイム ？

お礼

いろんな意見、ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

こんな図を書いてみました。

お礼

図を描いてくださり、ありがとうございます。