背理法についての質問です

質問

p√2が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。
という問題です。

√2が無理数であるという証明は、下のようにわかるのですが
p√2が無理数であるという証明は同じように解けるのでしょうか？

√2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく.
（ここに，m，nは整数で互いに素）
両辺を２乗すると 2＝(n/m)^2
2m^2＝n^2
よって，nは2の倍数・・・(1)

n＝2kとおく
2m^2＝4k^2
m^2＝2k^2
よって，mは2の倍数・・・(2)

(1)(2)はm,nが互いに素という仮定に反し，矛盾．
ゆえに，√2は無理数

回答No.3

orcus0930 · ベストアンサー

pは非零の有理数ですか?

それなら、√2が無理数であることを示して、（これはその書き方で問題ないかと）
p√2＝r(rは有理数とでも置いて)と仮定して
√2＝r/p=有理数
で矛盾でいいですよ＾＾

有理数÷有理数は当然有理数

ただ、pの条件次第では
pが実数ならp=√2で整数になりますし、
有理数でも
p=0ではp√2=0で整数になってしまいます。

お礼

助かりました。
ありがとうございます。

回答No.2

rinkun

p√2はp乗根(=2^(1/p))で良いのかな?
それなら証明は平方根と同様ですね。
両辺を2乗する代わりにp乗するだけでほとんど違いはないでしょう。

補足

書き方が悪かったです。
p と√2 の積です

回答No.1

Tacosan

一応確認ですが, 「p√2」って何を表していますか?
有理数 p と√2 の積なら, 同じようにやってもいいし √2 が無理数であることを使って「p√2 が有理数だ」と仮定して帰納法でもいい.

補足

p と√2 の積です